9. Доказательство теоремы В.М. Попова.

Помимо статей В.М. Попова [73] развитому им методу и дальнейшему его усилению посвящена обширная литература [3, 22, 54]. Из многих вариантов доказательства теоремы В.М. Попова ниже излагается доказательство, предложенное в монографии [3].

Как показано в п. 6, доказательство теоремы достаточно провести лишь в предположении, что в формуле (36) . Пусть — решение системы дифференциальных уравнений (1)

при выбранной произвольно, но фиксированной функции из угла и некоторых (произвольно выбранных, но фиксированных) начальных условиях.

Если подставить функции представляющие собой указанное выше решение, в формулы и , то получим, что для системы (1) при фиксированной функции и выбранных выше начальных условиях

(6.73)

(6.74)

то есть функция оказывается некоторой известной функцией времени.

Поэтому можно указанные выше функции считать решением системы линейных неоднородных уравнений

(6.75)

где функция определена выражением (74), а начальные условия — те же, что были заданы при решении системы уравнений .

Обозначим теперь через следующую функцию:

(6.76)

где — произвольное фиксированное положительное число, и пусть функция

(6.77)

определяется решением системы линейных неоднородных уравнений

(6.78)

при тех же начальных условиях, при которых согласно (73) была определена функция , то есть

(6.79)

Отсюда следует, что

(6.8)

Решение эквивалентного системе скалярных уравнений (78) неоднородного векторного дифференциального уравнения

(6.81)

можно представить в следующем виде:

(6.82)

где — фундаментальная матрица решений однородного матричного уравнения

(6.83)

Элементы матрицы имеют следующий вид:

(6.84)

где — некоторые полиномы от , а - нули характеристического определителя (9)

В рассматриваемом здесь основном случае все нули стического определителя имеют отрицательную действительную часть и, следовательно,

(6.85)

Из (82), (77) и (4) следует, что

(6.86)

где

(6.87)

(6.88)

Таким образом, определяется из решения (82) системы уравнений (78) при нулевых начальных условиях, а — функция времени, линейно зависящая от начальных данных . В рассматриваемом здесь основном случае, как следует из (85),

(6.89)

Дифференцируя (86), имеем

(6.90)

Из (86) и (90) можно получить следующее выражение:

(6.91)

Обозначим теперь

(6.92)

Изображения Фурье для функций обозначим так: . Эти преобразования Фурье существуют, так как при , то есть . Функция определена выражением (87), в котором подынтегральная функция обращается в нуль при в соответствии с (85) из этого следует, что . Кроме того, согласно (88) и (85) . Таким образом, . Согласно (13)

В соответствии с (14) и (78) будем иметь

(6.93)

При нулевых начальных условиях уравнению (93) соответствует следующее уравнение в изображениях Фурье:

(6.94)

Здесь слева стоит , так как имеется в виду решение при нулевых начальных условиях, то есть . Соотношение

(91) в новых обозначениях (92) принимает вид

(6.95)

Переходя к изображениям Фурье и учитывая (94), получим

(6.96)

Здесь учтено, что изображение Фурье для будет . Обозначим теперь

(6.97)

Тогда соотношение (96) примет вид

(6.98)

В рассматриваемом здесь основном случае условие (36) теоремы Попова можно заменить неравенством

(6.99)

где — положительное число. Как показано в п. 3, годограф вектора в основном случае всегда лежит в конечной части плоскости комплексного переменного при всех со. Наименьшее расстояние между точками прямой Пбпова (40) и годографом вектора - положительное число, то есть координаты X и Y любой точки годографа вектора удовлетворяют условию

(6.100)

откуда и вытекает условие (99).

Кроме того, как установлено выше,

Поэтому согласно лемме 2 будем иметь

(6.101)

где

(6.102)

Функция , как и ее оригинал как видно из (88) и

(92), линейно и однородно зависит от начальных данных и не зависит от величины Т. Поэтому положительная постоянная С зависит однородно и квадратично от начальных данных и стремится к нулю, когда эти начальные данные стремятся к нулю. От величины Т постоянная С не зависит.

Подставляя выражение (92) для , получим из (101)

(6.103)

Разбивая левую часть неравенства (103) на два интеграла, получим

(6.104)

Прибавляя к обеим частям неравенства (104) положительную

величину и вводя новую постоянную

(6.105)

приходим к неравенству

(6.106)

Здесь постоянная , так же как и С, зависит только от начальных данных и стремится к нулю вместе с ними.

В левой части (106) каждый интеграл неотрицателен. Поэтому будут иметь место неравенства

(6.107)

(6.108)

Из неравенства (108) при условии, что заключена в угле , еще не следует, что функция ограничена, поскольку в этом угле могут быть выбраны такие характеристики , для которых конечен (например, функции , удовлетворяющие условию ).

Поэтому допустим сначала, что удовлетворяет более жесткому условию

(6.109)

чем основное условие (6)

то есть что лежит в угле , а не в угле . Тогда из неравенства (108) сразу следует, что функция ограничена при , то есть

(6.110)

где величина L стремится к нулю вместе с начальными отклонениями, поскольку этому свойству удовлетворяет .

Так, например, заменяя на в левой части (108), получим

(6.111)

Отсюда, заменяя произвольную величину Т на получим неравенство (110), в котором

Но тогда в силу известных свойств линейных дифференциальных уравнений в рассматриваемом основном случае ограничены и решения системы (75)

(6.113)

где постоянные как и постоянная L, стремятся к нулю вместе с начальными отклонениями, так как правые части уравнений (75) ограничены, если а ограничено.

Это вытекает из следующего известного свойства решений систем неоднородных линейных уравнений в устойчивом случае: если правые части ограничены в интервале либо

стремятся к нулю при , то и любое решение обладает этим свойством, то есть соответственно ограничено или стремится к нулю при . Если при этом постоянные, ограничивающие правые части, зависят от начальных отклонений (как это имеет место в данном случае) и стремятся к нулю при стремлении к нулю начальных отклонений, то и любое решение обладает этим же свойством.

Из (113) следует, что тривиальное решение системы (1) устойчиво по Ляпунову. Однако из (113) не следует еще асимптотическая устойчивость тривиального решения.

Обратимся теперь к неравенству (107). Здесь под интегралом стоит функция

которая положительна в силу неравенства (109) при любом . Кроме того, из ограниченности функций следует согласно уравнениям (1) ограниченность производных а значит, и ограниченность и . Заметим, что поскольку согласно (102) и (105) постоянная не зависит от Г, то неравенство (107) будет иметь место при произвольном . Отсюда следует, что

Таким образом, выполнены все условия леммы 1. В соответствии с леммой 1 заключаем, что при произвольных начальных условиях

(6.115)

Из (115) следует, что

(6.116)

Соотношение (116) можно переписать так: .

При этом, в соответствии с замечанием о свойствах решений дифференциальных уравнений (стр. 106), из уравнений (75) следует, что

(6.117)

Изложенным исчерпывалось бы доказательство теоремы Попова, если бы в ходе доказательства мы не заменили угол углом . Указанное ограничение можно снять. Однако, имея в виду, что можно в условии (109) выбирать сколь угодно малым, мы на этом останавливаться не будем.