7. Наблюдаемость линейных нестационарных систем.

Рассмотрим теперь задачу о восстановлении начального значения по найденной из наблюдений вектор-функции для системы

(11.99)

(11.100)

Здесь — -мерный вектор, — -мерный вектор, — матрица типа матрица типа . Элементы матриц и являются непрерывными, действительными функциями .

Если любое начальное состояние может быть определено по известной на отрезке вектор-функции , то система называется вполне наблюдаемой на отрезке . Согласно (80) и (100)

(11.101)

(11.102)

Умножая левую и правую части выражения (102) слева на матрицу и интегрируя по в пределах от до , получим

(11.103)

Обозначая

(11.104)

(11.105)

можно переписать соотношение (103) так:

(11.106)

Если матрица неособая, то есть ее определитель отличен от нуля, то существует обратная матрица , и тогда уравнение (106) может быть разрешено относительно :

(11.107)

Таким образом, если матрица неособая, то система (99), (100) вполне наблюдаема.

Докажем теперь, что если система вполне наблюдаема, то матрица является неособой матрицей.

Возьмем некоторое начальное состояние системы

(11.108)

Предположим обратное: пусть - особая матрица, и

(11.109)

Согласно (102) при начальном условии (108) функция будет иметь следующий вид:

(11.110)

где

(11.111)

Учитывая, что

будем в соответствии со (104) и (109) иметь

(11.112)

Из соотношения (112) следует, что

(11.113)

У вполне наблюдаемой системы при вектор-функция удовлетворяет условию

(11.114)

что противоречит соотношениям (113) и (110).

Полученное противоречие возникло вследствие предположения (109) о том, что у вполне наблюдаемой системы матрица является особой. Следовательно, если система вполне наблюдаема, то матрица является неособой.

Итак, доказана следующая теорема.

Система (99), (100) вполне наблюдаема на отрезке если и только если матрица

является неособой матрицей.

Заметим, что так как матрица является матрицей Грама, то в случае, когда (как это требуется в доказанной здесь теореме), матрица будет положительно-определенной матрицей.