9. Представление функций от матриц рядами.

Обратимся вновь к матрице А, минимальный полином которой имеет вид (29)

и предположим, что функция и последовательность функций определены на спектре матрицы А.

Определение 1. Последовательность функций при стремится к некоторому пределу на спектре матрицы А, если существуют пределы

Определение 2. Последовательность функций стремится при к функции на спектре матрицы , что записывается так:

(10.91)

если

(10.92)

Формула (71)

выражает функцию через значения на спектре матрицы . Если рассматривать матрицу как вектор в пространстве измерении то из формулы (71) в силу линейной независимости матриц следует, что все (при заданном А) образуют -мерное подпространство в с базисом . В этом базисе «вектор» имеет своими координатами значений функции на спектре матрицы А.

Указанная здесь геометрическая интерпретация облегчает доказательство приведенных ниже теорем.

Теорема 1. Для того чтобы последовательность матриц при стремилась к некоторому пределу, необходим и достаточно, чтобы последовательность при на спектре матрицы А стремилась к пределу, т. е. пределы всегда существуют одновременно. При этом равенство

(10.93)

влечет за собой равенство

(10.94)

и наоборот.

Доказательство. Если значения на спектре матрицы А при стремятся к предельным значениям, то из формулы

следует существование предела . Из формул (95) и (71) можно заключить, что если имеет место соотношение (93), то будет справедливым и соотношение (94).

Перейдем к доказательству обратного утверждения. Пусть существует . Матрица является матрицей типа , т. е. содержит элементов, причем , так как — степень минимального полинома матрицы А.

Матричное соотношение (95) эквивалентно скалярным соотношениям. Выберем из этих соотношений соотношений, которые будем рассматривать как систему из линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных

Так как матрицы линейно-независимы, то среди указанных соотношений найдется таких соотношений, у которых определитель из коэффициентов при будет отличен от нуля. Таким образом, можно выразить значение в виде линейнох форм от элементов матрицы . Отсюда следует существование предела , и, следовательно, если имеет место соотношение (94), то будет справедливым и соотношение (93).

Из доказанной теоремы вытекает, что если последовательность полиномов стремится к функции на спектре матрицы A, то

Определение 3. Ряд сходится на спектре матрицы А к функции , что записывается так:

(10.96)

если все фигурирующие здесь функции определены на спектре матрицы А и имеют место равенства

причем в правых частях этих равенств стоят сходящиеся ряды.

Если обозначить

(10.97)

то соотношение (96) можно переписать так:

(10.98)

Доказанной выше теореме 1 можно теперь дать другую эквивалентную формулировку.

Теорема . Для того чтобы ряд сходился к некоторой матрице, необходимо и достаточно, чтобы ряд сходился на спектре матрицы A. При этом из равенства

следует равенство

и наоборот.

Рассмотрим теперь степенной ряд с кругом сходимости и суммой :

(10.99)

Так как степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз внутри круга сходимости, то ряд (99) сходится на спектре любой матрицы, характеристические числа которой расположены внутри круга сходимости. Отсюда вытекает следующая теорема.

Теорема 2. Если функция разлагается в степенной ряд в круге

(10.100)

то это разложение сохраняет силу, если скалярный аргумент заменить любой матрицей А, характеристические числа которой, лежат внутри круга сходимости.

Из доказанной теоремы вытекают, например, следующие разложения:

(10.101)

(10.102)

Разложения (101) имеют место для любой матрицы А, так как разложения соответствующих функций от скалярного аргумента имеют место при .