Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Доказательство теоремы о необходимом условии оптимальности для неавтономной системы с линейно входящим управлением.Для частного случая, когда управление входит линейно, можно дать [27, 72] непосредственное доказательство теоремы о необходимом условии оптимальности для неавтономной системы. Рассмотрим систему, описываемую скалярными дифференциальными уравнениями
которым эквивалентно векторное дифференциальное уравнение
где
Требуется перевести систему из точки Управления
и их надо выбрать
Через
я начальным условием
Тогда функционал Q примет вид
Вспомогательные переменные
Функция Н в рассматриваемой задаче имеет вид
или
Обозначим через Покажем, что оптимальное управление будет иметь следующий вид, соответствующий теореме о принципе максимума:
или
где
Дадим оптимальному управлению
Функцию Управлению Так как начальное состояние системы
Таким образом, в соответствии с (21) и (26) будем иметь следующую систему дифференциальных уравнений:
Так как
то уравнения (37) принимают вид
Первое слагаемое в левой части уравнений (39) взаимно сокращается с первыми двумя слагаемыми в правой части этих уравнений, как это следует из уравнений (21) и (26). При малых допустимых вариациях управления
Уравнения (40) представляют собой систему уравнений в вариациях для рассматриваемой задачи. Так как Обозначим через
Через
где
Систему уравнений в вариациях (40) можно представить в виде векторного дифференциального уравнения
где матрица Матрица
Согласно (29) вспомогательные переменные
Систему скалярных дифференциальных уравнений (46) можно заменить векторным дифференциальным уравнением
Через Через
удовлетворяющую условию Так как согласно (47) и (48)
то
откуда следует, что
Подставляя вместо
приведем соотношение (51) к виду
или
Из соотношения (52) следует, что
Транспонируя матрицы в левой и правой части соотношения (53), получим
Аналогично (49) из уравнений (44) и (47) найдем, что
откуда, интегрируя, получим
Так как согласно (44)
Покажем теперь, что при выполнении условия (31) имеет место соотношение
где Действительно, в соответствии с (31) при
согласно (31) имеем
При
имеем согласно (31)
При этом
откуда согласно (57) вытекает соотношение (58). Нетрудно также видеть, что если условие (31) не выполнено, то существуют такие допустимые вариации, для которых
Действительно, пусть вне отрезка времени
Пусть
то есть условие (31) не выполнено. Выберем в качестве допустимой вариации управления
где
При этом выражение (57) принимает вид
Таким образом, соотношение (58) имеет место только при выполнении условия (31). Допустимые вариации
где Каждой допустимой вариации Можно показать, что
отрезка прямой, соединяющего две точки
Вариация управления
Отсюда следует, что
и, таким образом, Покажем еще, что точка Отсюда следует, что точка Как известно [15], через любую граничную точку выпуклого множества можно провести хотя бы одну гиперплоскость такую, что все точки этого множества будут расположены по одну сторону от этой гиперплоскости. Указанная гиперплоскость называется опорной. Через угловую граничную точку можно провести более одной опорной гиперплоскости. Обозначим через М опорную для множества
Чтобы завершить доказательство теоремы, надо показать существование вектор-функции
Тогда, как показано выше (соотношение (58)), для выполнения условия (60) требуется, чтобы управление В качестве примера заметим, что для задачи с закрепленным временем Т и свободным концом траектории опорная плоскость М для множества достижимости Приведенные здесь, при помощи линейных уравнений в вариациях (44), рассуждения справедливы, если вариации Итак доказано, что условие (31) является необходимым условием оптимальности. Вопрос о достаточных условиях оптимальности в форме принципа максимума требует отдельного рассмотрения.
|
1 |
Оглавление
|