7. Компоненты матрицы А.

Если в выражении (49) интерполяционного полинома Лагранжа — Сильвестра объединить члены, содержащие одно и то же значение функции или какой-либо ее производной, то полином примет вид

(10.70)

Здесь - полиномы от с постоянными коэффициентами; степень этих полиномов не выше чем , где — степень минимального полинома матрицы А.

Из формулы (45) в соответствии с (70) получим следующее выражение для функции :

(10.71)

где

(10.72)

Матрицы не зависят от выбора функции , а определяются лишь видом матрицы А. В правую часть выражения (71) входят значения функции на спектре матрицы А. Матрицы называются составляющими матрицами или компонентами матрицы А.

Можно показать, что компоненты матрицы А линейно-независимы. Действительно, предположим, что

(10.73)

Определим интерполяционный полином из условий

(10.74)

Согласно (70) будем иметь

(10.75)

Из выражений (75) и (73) следует, что

(10.76)

Так как степень интерполяционного полинома , определяемого формулой (75), ниже степени минимального полинома , то из соотношения (76) следует, что

(10.77)

Из тождества (77) и соотношений (74) следует, что

(10.78)

Таким образом, соотношение (73) может иметь место лишь при выполнении условий (78), и, следовательно, матрицы линейно-независимы.

Аналогично можно доказать, что ни одна из матриц не равна нулю. Действительно, если бы какая-либо из матриц была равна нулю, то, поскольку степень соответствующего ей полинома ниже степени минимального полинома, имело бы место тождество

(10.79)

Последнее, однако, невозможно, так как представляет собой интерполяционный полином Лагранжа — Сильвестра для функции, у которой все значения на спектре матрицы А равны нулю, за исключением значения равного единице.

Заметим, что в рассмотренном в п. 6 примере функции определены выражениями (66).