8. Общие формулы, определяющие компоненты Z матрицы А.

Выше было отмечено, что матрицы определяются лишь видом матрицы и не зависят от выбора функции . Укажем теперь общие формулы, которыми определяются матрицы .

Рассмотрим функцию

(10.80)

где — некоторый параметр. Из выражения (80) найдем, что

(10.81)

Согласно (80) . Так как и , где — интерполяционный полином Лагранжа — Сильвестра, совпадают на спектре матрицы , то на этом спектре

(10.82)

При замене в выражении (82) скалярного аргумента матрицей А получим следующее матричное соотношение:

(10.83)

откуда следует, что

(10.84)

В силу соотношения (45) отсюда следует, что функции , заданной выражением (80), соответствует

(10.85)

Из выражений (70), (80) и (81) видно, что интерполяционный полином , определяемый значениями на спектре матрицы , будет следующим:

(10.86)

Отсюда, заменяя скалярный аргумент матрицей , получим

(10.87)

Согласно (85), (8) и (19)

(10.88)

Здесь - присоединенная матрица для матрицы , - определитель матрицы . Матрица называется приведенной присоединенной матрицей и определяется выражением (14), а - минимальный полином матрицы А, который определяется выражением (16).

Соотношение (87) можно теперь переписать так:

(10.89)

Так как согласно (29)

то выражение (89) представляет собой разложение дробно-рациональной функции на сумму элементарных дробей, причем коэффициентами этого разложения являются матрицы.

Сравнивая выражения (89) и (55), найдем, что матрицы будут иметь следующий вид:

(10.90)