§ 5. Решение краевых задач

1. Решение первой краевой задачи (задачи Дирихле) для круга. Введем полярные координаты

Будем искать функцию , гармоническую внутри круга и принимающую на границе круга заданные значения

Заданную функцию разложим в ряд Фурье. Пусть

как известно,

Тогда решение нашей задачи можно представить в виде ряда

Внешняя задача Дирихле для круга. Ее решение дается формулой

Интеграл Пуассона. Ряды (3.29) и (3.30) можно просуммировать, результатом суммирования и будут интегральные формулы Пуассона. Эти формулы имеют вид

для внутренней задачи Дирихле и

для внешней задачи Дирихле.

2. Метод конформных отображений. Всякую плоскую односвязную область, ограниченную кусочно гладкой кривой, можно взаимно однозначно отобразить на единичный круг. Задача Дирихле для такой области сводится к внутренней задаче Дирихле для круга.

Обозначим новые независимые переменные через Пусть аналитическая функция, реализующая отображение. Тогда

Как известно,

и, следовательно, Разумеется, следует преобразовать и граничные условия.

3. Вторая краевая задача (задача Неймана) для круга. Решение имеет вид

где коэффициенты определяются равенствами

заданное на границе значение нормальной производной.

Коэффициент остается неопределенным, и, таким образом, решение задачи Неймана находится с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Ряд может быть просуммирован и представлен следующим интегралом (интеграл Дини):

Внешняя задача Неймана для круга имеет решением

Коэффициенты определяются равенствами

Суммирование вновь приводит к интегралу Дини.

Третья краевая задача. Решение аналогично, если

Для внутренней задачи 00

Для внешней задачи 00

Коэффициенты для внутренней задачи определяются из уравнений:

Для внешней задачи они определяются из аналогичных уравнений, в которых заменяется на

4. Решение задачи Дирихле для кольца, образованного двумя концентрическими окружностями. Пусть при

В области, не содержащей начала координат, ограниченным решением будет

Коэффициенты определяются из граничных условий:

коэффициенты Фурье функций и

5. Вторая краевая задача (задача Неймана) для кольца. Решением будет по-прежнему ряд (3.34). Коэффициенты определяются из граничных условий:

коэффициенты Фурье функций следует иметь в виду, что так как

Решение третьей краевой задачи проводится аналогично, если

6. Первая краевая задача для цилиндра. Цилиндр ограничен плоскостями и поверхностью

Обозначим через гармоническую функцию, обращающуюся в нуль на ограничивающих плоскостях, а на боковой поверхности принимающую заданные значения

Пусть, далее, гармонические функции, обращающиеся в нуль на боковой поверхности цилиндра и на одном из оснований, а на другом принимающие заданные значения

тогда

I — модифицированная функция Бесселя первого рода,

-обыкновенная функция Бесселя первого рода, — корень уравнения

7. Решение задачи Дирихле для сферы Рассмотрим уравнение Лапласа в сферических координатах

Преобразуем его, положив

Разделяя переменные, получим:

Решения этого уравнения, ограниченные при существуют только при Они называются шаровыми функциями Лапласа и выражаются следующим образом:

При получаем функции

обладающие осевой симметрией, т. е. не зависящие от Здесь полиномы Лежандра, а — присоединенные функции Лежандра порядка

Общее решение уравнения при имеет вид

Частным решением, ограниченным внутри сферы, будет

Частным решением, ограниченным вне сферы, будет

Методом суперпозиции построим решение уравнения Лапласа, ограниченное внутри сферы:

Коэффициенты определяем из граничного условия при где -заданная функция,

откуда

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (3.35), меняя местами суммирование и интегрирование и проводя суммирование, придем к формуле Пуассона, справедливой при

При решении внешней задачи множитель в формуле (3.35) заменяется на в формулах заменяется на

8. Гармонические многочлены от трех независимых переменных. Однородные гармонические многочлены от трех независимых переменных иногда называются шаровыми функциями. Их легко построить методом неопределенных коэффициентов. Так, например, гармонический полином второй степени можно построить из общего полинома второй степени

Заметив, что видим, что полином будет гармоническим, если откуда

произвольные постоянные.

Заметим еще, что Вообще гармонический полином степени содержит произвольных постоянных и является линейной комбинацией линейно независимых гармонических полиномов. Так, линейно независимыми гармоническими полиномами второй степени будут

Всякий гармонический многочлен выражается через лапласову шаровую функцию

где сферические координаты точки, собственные функции уравнения

9. Решение задачи Дирихле для прямоугольника Положим получим

откуда

или, наоборот,

Рассмотрим случай, когда на трех сторонах прямоугольника искомая функция равна нулю, а на четвертой стороне, например на стороне где произвольная, но достаточно гладкая функция. Мы удовлетворим всем условиям задачи, приняв

Определим коэффициенты из условия

откуда

Если функция и отлична от нуля на стороне где равна а на трех других сторонах равна нулю, то решением будет

Коэффициенты определяются той же формулой с заменой на

Если искомая функция отлична от нуля только на стороне и равна здесь то

где

наконец, если отлична от нуля только на стороне и равна здесь то

определяются так же, как и заменой на

Решение для общего случая граничных условий может быть получено суммированием четырех найденных решений.

Задачу Неймана для прямоугольника рекомендуется свести к задаче Дирихле.

Третья краевая задача для прямоугольника. Найдем гармоническую функцию, которая на трех сторонах прямоугольника, например при удовлетворяет граничному условию

а на четвертой стороне условию

Положим

Здесь собственные функции третьей однородной краевой задачи дифференциального уравнения на отрезке -собственные значения этой же краевой задачи, коэффициент подбирается из условия обращения в нуль выражения

на стороне Отсюда

Коэффициенты определим из условия

Следовательно,

Аналогично строятся решения, для которых

отлично от нуля поочередно на каждой из остальных сторон. Окончательный результат получается суммированием найденных решений.

10. Решение задачи Дирихле для параллелепипеда.

Решение вполне аналогично решению задачи Дирихле для прямоугольника.

Рассмотрим параллелепипед

Легко убедиться, что

будет решением уравнения Лапласа, обращающимся в нуль на всех гранях параллелепипеда, кроме грани

Построим решение и определим коэффициенты так, чтобы при где заданная функция:

отсюда

Точно так же

представляет решение, обращающееся в нуль на всех гранях, кроме грани На этой грани решение может быть задано как определяются, как и с заменой А на

Аналогично с заменой на х и соответственно на у строятся решения, обращающиеся в нуль на всех гранях, кроме затем наконец,

Окончательное решение получается суммированием шести найденных решений.

Третья краевая задача решается аналогично тому, как она решена для прямоугольника.