§ 5. Задачи без начальных условий

При рассмотрении длительных температурных процессов влияние начального распределения температур сглаживается и поэтому имеет смысл искать решение, удовлетворяющее только краевым условиям. Удобно начальный момент отнести в Справедлива общая теорема о существовании единственного решения всех перечисленных выше краевых задач, остающегося ограниченным для всех

Исторически первой была задача о температурных колебаниях почвы, решенная Фурье.

При естественных предположениях, идеализирующих изучаемый процесс, задача сводится к следующей. Будем искать решение уравнения (6.3) на полупрямой ограниченное для всех при граничном условии и Будем искать решение, периодическое по времени и затухающее при увеличении

где подлежат определению. Подставляя в уравнения и проводя простые вычисления, найдем, что

Затухание колебаний растет с ростом частоты Колебания происходят со сдвигом фазы, пропорциональным Можно обобщить полученное решение, заменив граничное условие более общим: и где периодическая функция. Разлагая ее в ряд Фурье и находя решение для каждой гармоники в отдельности по формуле (6.37), можно затем построить ряд

Существенно, что, чем больше тем с большей точностью можно из всего ряда сохранять только первую гармонику.