§ 3. Классификация и канонические формы уравнений второго порядка с n независимыми переменными

1. Аналог второй канонической формы. Рассмотрим уравнение, линейное относительно старших производных (т. е. относительно производных второго порядка) в случае, когда число независимых переменных больше двух:

Произведем линейную замену независимых переменных:

Примем, что преобразование неособое, т. е. определитель что обеспечит однозначность определения х через (см. СМБ, Высшая алгебра, стр. 52). Уравнение приведется к виду

где А и уже функции

При замене переменных (1.36) коэффициенты при вторых производных в уравнении (1.35) изменяются так же, как коэффициенты квадратичной формы

заметим, что эти коэффициенты, вообще говоря, различны в различных точках пространства координат

Известно, что существуют такие неособые преобразования, которые приводят квадратичную форму к каноническому виду

причем число положительных и отрицательных членов, а также само число не зависят от выбора неособого преобразования.

Выбрав надлежащее преобразование, мы приведем уравнение к следующему каноническому виду.

характеризующемуся отсутствием смешанных производных.

Для каждой точки будут свои значения коэффициентов квадратичной формы и свое преобразование к каноническому виду. В общем случае невозможно преобразовать уравнение к канонической форме в какой-либо (даже малой) области. Переход от линейного преобразования (1.36) к любому более общему преобразованию независимых переменных также не дает возможности привести уравнение (1.35) к каноническому виду сразу для всех точек какой-либо (даже малой) области.

Конечно, если коэффициенты постоянны, то приведение к канонической форме обеспечивает каноническую форму при всех значениях независимых переменных.

Классификация уравнений в фиксированной точке определяется квадратичной формой (1.38) или, что то же, видом канонической формы (1.39).

а) Уравнение называется эллиптическим в данной точке, если и все знаки в левой части равенства (1.40) одинаковы (без ущерба для общности их можно считать положительными).

б) Уравнение называется гиперболическим в данной точке, если и все знаки в левой части равенства (1.40) одинаковы, кроме одного.

в) Уравнение называется ультрагиперболическим в данной точке, если и в левой части равенства (1.40) имеется больше одного положительного и больше одного отрицательного знака.

г) Уравнение называется параболическим в широком смысле, если

д) Уравнение называется параболическим в узком смысле, все знаки слева в уравнении (1.40) одинаковы

и правая часть уравнения содержит производную так что

Примеры. Уравнение Лапласа

— эллиптического типа. Дифференциальный оператор

называется оператором Лапласа. Волновое уравнение

принадлежит к гиперболическому типу; уравнение теплопроводности

— параболическое в узком смысле. Примером ультрагиперболического уравнения может служить уравнение

примером уравнения, параболического в широком смысле, — уравнение

Уравнения ультрагиперболические и параболические в широком смысле редко встречаются в приложениях.

2. Аналог первой канонической формы. Изложенное выше преобразование уравнений к каноническому виду заключалось в уничтожении коэффициентов при всех смешанных производных.

Часто требуется преобразование, обращающее в нуль коэффициент при какой-либо несмешанной производной,

Пусть переменные заменены переменными где суть функции от причем в свою очередь суть однозначные функции от После преобразования уравнения (1.35) к новым переменным коэффициент при будет равен

Напишем уравнение в частных производных первого порядка

называемое уравнением характеристик уравнения (1.35). Поверхность

где — любой интеграл уравнения (1.41), называется характеристической поверхностью или просто характеристикой уравнения (1.35); в случае двух независимых переменных говорят о характеристической линии. Перейдя от переменных к переменным где мы добьемся того, что коэффициент обратится в нуль.

3. Классификация нелинейных уравнений второго порядка с n независимыми переменными.

Такие уравнения имеют вид

где

Положим

и составим квадратичную форму (1.38). Коль скоро эта форма составлена, классификация уравнений вида (1.43) по типам

производится так же, как и в линейном случае. Важно отметить, что, как и в случае двух независимых переменных, тип нелинейного уравнения в каждой точке зависит, вообще говоря, от рассматриваемого решения.