§ 4. Установившиеся колебания

1. Волновое уравнение [21], [43], [44], [78], [79, т. IV], [81], [82], [101]. Часто приходится рассматривать задачи дифракции установившихся колебаний, когда зависимость от времени функции , описывающей волновое поле, является гармонической, т. е.

Из того, что функция и удовлетворяет волновому уравнению, вытекает уравнение для

Уравнение (9.68) называется уравнением Гельмгольца (см. гл. IV).

Пусть функция задана вне некоторого круга и удовлетворяет уравнению Гельмгольца. Говорят, что удовлетворяет условиям излучения, если при

в трехмерном случае условия (9.69) заменяются на условия

Физический смысл условий излучения — отсутствие волн, приходящих из бесконечности. Показано [21], что первые из приводимых здесь условий (9.69) и (9.70) являются следствием вторых.

Важную роль играют решения уравнения

-функция Дирака), удовлетворяющие условиям излучения соответственно (9.70) или (9.69) и определенные во всем пространстве. Эти решения имеют физический смысл точечных источников гармонических колебаний. В плоском случае

здесь функция Ханкеля. В трехмерном случае

Для уравнения Гельмгольца корректны внешние задачи Дирихле и Неймана.

Внешняя задача Дирихле — это задача отыскания функции вне некоторой конечной области, ограниченной поверхностью (или кривой в плоском случае) причем:

Внешняя задача Неймана ставится таким же образом, с той лишь разницей, что условие 2) заменяется на условие

К внешним задачам Дирихле и Неймана сводится задача дифракции от ограниченного тела, если на поверхности этого тела выполняются условия

Задача дифракции плоской волны, распространяющейся в положительном направлении оси от тела, ограниченного поверхностью ставится как задача нахождения функции вне 5 по условиям:

причем удовлетворяет условиям излучения.

Задача дифракции волны, возникшей от точечного источника, ставится точно так же, с тем лишь изменением, что условие 3) заменяется на условие

в плоском случае и на условие

Q - здесь фиксированная точка, в которой помещен точечный источник, функция Ханкеля. Функция удовлетворяет условиям излучения и не имеет особых точек.

Решение задачи о дифракции волны, возникшей от точечного источника, называется функцией Грина.

Для любого решения уравнения Гельмгольца, определенного вне и удовлетворяющего условиям излучения, имеет место формула

нормаль направлена внутрь тела, ограниченного поверхностью Если задана, то формула (9.79) дает решение задачи Неймана; если задана, то получим решение задачи Дирихле.

Корректны также задачи дифракции, когда конечная поверхность разграничивает две среды: внешнюю, где искомая функция удовлетворяет уравнению

и внутреннюю, где выполняется уравнение

причем на границе сред 5 выполняются краевые условия

Задача дифракции в этом случае ставится следующим образом: найти функции вне внутри причем должны выполняться уравнения (9.80), (9.81) и краевые условия (9.82); кроме того, в случае дифракции плоской волны

где удовлетворяет условиям излучения, а в случае дифракции от точечного источника, расположенного вне должны иметь место условия (9.77) или (9.78), где удовлетворяет условиям излучения и не имеет особых точек.

Можно рассмотреть также случай внутреннего источника, тогда

причем не имеет особых точек, удовлетворяет условиям излучения и на границе 5 выполняются краевые условия (9.82).

Корректность постановки задач теории дифракции доказывается методами теории потенциала и интегральных уравнений [43], [73], [79, т. IV], [140].

Постановка и доказательство корректности задач теории дифракции в случае тел с бесконечной границей представляют большие математические трудности. Можно сформулировать принцип излучения так, что он будет применим практически ко всем задачам дифракции установившихся колебаний.

При и при обычных краевых условиях существует единственное ограниченное на бесконечности решение уравнения

За решение задачи дифракции берут предел

В случае, когда граница области конечна, полученное таким образом решение будет удовлетворять условиям излучения (9.69) или (9.70).

Описанный принцип выделения единственного решения из всего множества решений уравнения Гельмгольца носит название принципа предельного поглощения.

Другой принцип, обобщающий обычный принцип излучения, носит название принципа предельной амплитуды. Он заключается в том, что решение уравнения

должно быть пределом при произведения и где есть решение уравнения

удовлетворяющее нулевым начальным условиям.

Замечание. Если мы будем рассматривать решение волнового уравнения зависящее от по закону

то для будет выполняться уравнение Гельмгольца. Условия же излучения, принцип предельного поглощения и принцип предельной амплитуды сохраняют свой вид, с той лишь оговоркой, что везде нужно заменить на

2. О постановке задач теории дифракции электромагнитных колебаний [43]. В том случае, когда зависимость от времени компонент векторов, описывающих электромагнитное поле, выражается формулами (9.4), уравнения Максвелла принимают вид (9.5).

Пусть область внутри некоторой конечной замкнутой поверхности занята средой, характеризующейся постоянными Для внешней области соответствующие константы пусть будут Задачи теории дифракции ставятся следующим образом.

Пусть векторы Япад заданы вне 5 и характеризуют падающую волну и Япад могут соответствовать, например, плоской волне или сосредоточенному диполю с моментом, зависящим от времени по закону

Решение задачи дифракции вне 5 ищется в виде

причем векторы удовлетворяют уравнениям (9.5), вне и внутри и на границе удовлетворяют обычным краевым условиям (9.3), а каждая компонента векторов кроме того, удовлетворяет условиям излучения (9.69) или (9.70) в плоском случае (причем надо заменить там на где и не имеют особых точек.

Можно рассматривать также случай внутреннего источника, тогда

внутри замкнутой поверхности и Япад характеризуют источник колебаний, и не имеют особых точек, удовлетворяют вне 5 тем же условиям излучения и на 5 тем же краевым условиям, что и в предыдущем случае.

3. О постановке задач теории дифракции упругих колебаний [43]. Задачи теории дифракции упругих колебаний ставятся аналогично соответствующим задачам теории

электромагнитных колебаний. Пусть

— вектор смещений, соответствующий падающей волне, а -конечная замкнутая поверхность, внутри которой параметры Ламе равны плотность равна а вне которой — равны

Решение задачи дифракции вне ищется в виде

причем на 5 выполняются краевые условия (9.23) или (9.24), V не имеет особых точек, кроме того, предполагается, что удовлетворяет следующему условию, играющему здесь роль условий излучения:

причем

Компоненты векторов ) должны удовлетворять условиям излучения (9.69) или (9.70), причем вместо там должно стоять ). В случае источника, расположенного внутри

не имеет особых точек, вне 5 удовлетворяет условиям излучения и на обычным краевым условиям.