ГЛАВА VI. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

§ 1. Некоторые задачи, приводящие к уравнениям параболического типа с двумя независимыми переменными

1. Задача теплопроводности для тела (стержня), температура которого зависит только от одной из координат х и времени t, а поток тепловой энергии направлен вдоль оси Ох, приводит к уравнению

Здесь — температура, являющаяся искомой функцией теплопроводность, с — теплоемкость, плотность, мощность тепловых источников, распределенных в теле. Если и с зависят от температуры, то уравнение нелинейно.

2. Важнейший частный случай, когда постоянны:

где

При отсутствии тепловых источников получаем однородное уравнение

3. Задача теплопроводности тонкого стержня при наличии теплоотдачи через его боковую поверхность в окружающую среду, имеющую температуру, равную нулю, приводит к уравнению

где коэффициент внешней теплопроводности, периметр сечения, перпендикулярного к оси х, а — его площадь.

При постоянных и при отсутствии источников тепла уравнение имеет вид

где

Уравнение (6.5) сводится к уравнению (6.3) подстановкой

4. Задача о диффузии приводит к уравнению (6.3), где концентрация, коэффициент диффузии, предполагаемый постоянным.

5. Уравнение плоской электромагнитной волны в однородной изотропной проводящей среде можно записать в следующей форме, пренебрегая током смещения:

6. Задача о движении вязкой жидкости, скорости которой зависят только от х и времени и направлены вдоль оси, перпендикулярной к оси х, приближенно сводится к уравнению

в котором — скорость, кинематический коэффициент вязкости. (При выводе уравнения пренебрегают градиентом давления.)