§ 6. Применение функциональных методов исследования эллиптических уравнений, вырождающихся на части границы

1. Общие замечания. Рассмотрим эллиптическое уравнение, вырождающееся на части границы области:

Уравнение (7.90) рассматривается в конечной области часть границы которой лежит в плоскости а остальная часть границы лежит в полупространстве Предположим, что

функции непрерывны в замкнутой области и что для любой точки и любых чисел

а для

причем ранг последней квадратичной формы

При исследовании функциональными методами краевых задач для уравнения (7.90) большое значение имеют теоремы вложения для вырождающихся на границе области метрик Эти теоремы являются обобщением известных теорем вложения Соболева для невырождающихся метрик.

Пусть множество всех непрерывных в функций, имеющих ограниченные кусочно непрерывные первые производные и обращающихся в нуль в некоторой (своей для каждой функции) граничной полоске области Через обозначим градиент функции и многообразие, составленное из элементов , где и через Введем в скалярное произведение по формуле

Пусть замыкание в метрике (7.93). В силу (7.91) это замыкание также состоит из градиентов функций и, имеющих в обобщенные первые производные и обращающихся в среднем в нуль на любой части границы Множество всех функций и полученных в результате замыкания обозначим через . Очевидно, следовательно, является областью определения оператора градиента

2. Первая краевая задача. Будем предполагать, что в уравнении (7.90) коэффициенты непрерывно

дифференцируемы в где любое число, а непрерывна в Предположим также, что выполнены неравенства

и

В случае первая (однородная) краевая задача состоит в нахождении решения уравнения (7.90), обращающегося в нуль на всей границе области

В случае постановка первой краевой задачи зависит от коэффициента Если в окрестности

или

то первая краевая задача состоит в нахождении решения уравнения (7.90), обращающегося в нуль на на никаких граничных условий не задается.

Под решением (обобщенным) первой краевой задачи мы будем понимать такую функцию что

где любая функция из обращающаяся в нуль вблизи

Теорема 6.1. Пусть выполнены неравенства (7.94) и (7.95), коэффициент при удовлетворяет

неравенству (7.96), а при

в некоторой окрестности Если

то первая краевая задача имеет единственное решение для любой правой части где а -достаточно гладкая функция, для и

Если в некоторой окрестности

и выполнены неравенства (7.94) и (7.95) при а то первую краевую задачу определим с помощью перехода к сопряженному оператору. Пусть

В сопряженном уравнении (7.101) коэффициент в окрестности значит, первая краевая задача для уравнения (7.101) ставится так, как указано в начале настоящего пункта.

Под первой краевой задачей для уравнения (7.90) в случае выполнения неравенств (7.94), (7.95) и условий (7.100) мы будем понимать ту задачу, которой соответствует оператор сопряженный с оператором первой краевой задачи для уравнения (7.101) с однородными граничными условиями.

Теорема 6.2. Если выполнены неравенства (7.94) и (7.95), коэффициент при удовлетворяет условию (7.100) и имеет место неравенство (7.98), то первая краевая задача с однородными граничными условиями (в указанном выше смысле) имеет единственное решение при любой правой части

Если коэффициент непрерывен в для то при постановке первой краевой задачи на следует задавать граничное условие т. е. в этом случае первая краевая задача ставится так же, как в случае а 1.

Теорема 6.3. Если: 1) выполнены неравенства (7.94), (7.95), причем для некоторого (3 имеет место

2) в некоторой окрестности коэффициент при а 1 удовлетворяет неравенству (7.96) (или для а при то для первой краевой задачи для уравнений (7.90) и (7.101) имеют место три теоремы, аналогичные трем теоремам Фредгольма. При этом всегда оператор полуограничен в следующем смысле:

а задача на собственные значения при граничных условиях первой краевой задачи приводит к дискретному и конечнократному спектру с единственной возможной точкой сгущения на бесконечности. Резольвента для регулярных значений вполне непрерывна. Для самосопряженного оператора имеет место Теорема . Если , то спектр оператора не дискретен.

Соответствующие теоремы для первой краевой задачи для однородного уравнения при неоднородных граничных условиях доказываются с помощью метода прямых разложений (см. [9]).

Пусть 2 — множество всех непрерывных в функций, имеющих ограниченные кусочно непрерывные первые производные. На множестве градиентов введем скалярное произведение по формуле

где — непрерывная функция, отличная от нуля только в окрестности некоторой внутренней точки

Замыкание в метрике (7.103) обозначим через Очевидно, также состоит из градиентов функций (образующих множество 2), имеющих в обобщенные первые производные.

3. Вторая краевая задача. Пусть коэффициенты непрерывно дифференцируемы в непрерывны в ограничена в

Пусть при выполнено неравенство (7.94). В этом случае вторая краевая задача ставится следующим образом: ищется решение уравнения (7.90) в области удовлетворяющее на всей границе краевому условию

где внешняя нормаль, ограниченная функция.

Решением (обобщенным) второй краевой задачи (7.90), (7.104) назовем функцию удовлетворяющую интегральному тождеству

при любой функции из некоторого подмножества

Теорема 6.4. Пусть при некотором

и пусть выполнены следующие неравенства для коэффициентов уравнения (7.90) и краевого условия (7.104):

Тогда вторая краевая задача (7.90), (7.104) имеет единственное решение для любых правых частей

Если условия (7.107) и (7.108) не выполнены, то для второй краевой задачи для уравнений (7.90) и (7.101) имеют место три теоремы, аналогичные трем теоремам Фредгольма. Оператор соответствующий второй краевой задаче при полуограничен:

его спектр (относительно веса дискретный и конечно-кратный, а резольвента для регулярных значений X вполне непрерывна.

В случае а 1 постановка второй краевой задачи зависит от коэффициента Если удовлетворяет условию (7.96), то на задается граничное условие (7.104), на никаких условий не задается.

Обозначим через 2° множество тех функций , каждая из которых обращается в нуль в некоторой окрестности а через его замыкание в метрике

Под решением (обобщенным) второй краевой задачи для уравнения (7.90) в случае выполнения условия (7.96) мы будем понимать такую функцию и что для любой функции выполнено интегральное тождество

Теорема 6.5. Пусть: 1) выполнены неравенства (7.94) и (7.95) при для некоторого (3 выполнено неравенство (7.102), причем в окрестности точек в которых векторы не направлены строго внутрь области соотношение (7.102) справедливо а при

2) для в некоторой окрестности имеет место соотношение (7.96);

3) справедливы неравенства (7.107) и

Тогда вторая краевая задача имеет единственное решение для любых где вес всюду, за исключением, быть может, точек множества

Если в некоторой окрестности

и выполнено условие 1) теоремы 6.5, то вторую краевую задачу для уравнения (7.90) с однородным граничным условием определим как задачу, сопряженную со второй краевой задачей для уравнения (7.101) при однородном граничном условии.

Теорема 6.6. Если выполнены условия 1) и 3) теоремы при удовлетворяет условию (7.110), то вторая краевая задача для уравнения (7.90) с имеет единственное решение для любой правой части

Если коэффициенты уравнения (7.90) гладкие и для то при постановке второй краевой задачи на следует задавать граничное условие (в случае задачи с однородными краевыми условиями).

Разрешимость второй краевой задачи для уравнения (7.90) в случае, когда при удовлетворяет условию (7.110), при неоднородных краевых условиях устанавливается методом прямых разложений [9].

Теорема 6.7. Пусть выполнено условие теоремы 6.5 и

Тогда относительно вторых краевых задач для уравнения (7.90) и сопряженного с ним уравнения (7.101) имеют место три теоремы, аналогичные трем теоремам Фредгольма. Оператор соответствующий второй краевой задаче при полуограничен:

Задача о собственных значениях приводит к дискретному и конечнократному спектру. Резольвента

для регулярных значений X вполне непрерывна.

Если

а

где О — любая внутренняя подобласть области то обобщенные решения первой и второй краевых задач имеют непрерывные производные до второго порядка внутри области Краевым условиям решения удовлетворяют в среднем, в смысле, указанном Соболевым [18].