ГЛАВА VIII. УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

§ 1. Важнейшие уравнения смешанного типа

Рассмотрим в некоторой области плоскости квазилинейное уравнение второго порядка

с вещественными коэффициентами и положим, что дискриминант квадратичной формы обращается в нуль вдоль некоторой кривой расположенной внутри области Условимся называть такую дугу параболической линией уравнения (8.1) или линией вырождения типа этого уравнения. Остановимся сначала на наиболее простом и вместе с тем важном случае степенного вырождения, когда в окрестности о линии функция представляется в виде где конечна и отлична от нуля всюду в на линии и Ну не обращаются одновременно в нуль на нечетное целое положительное число. При этом следует различать два возможных варианта расположения линии в поле характеристик уравнения (8.1). А именно, будем говорить, что (8.1) является уравнением с параболическим вырождением первого рода, если ни в одной точке линии касательная не совпадает с направлением

характеристик уравнения (8.1) (т. е. если всюду вдоль Наоборот, к уравнениям с параболическим вырождением второго рода мы отнесем (8.1) в том случае, когда совпадает с одной из характеристик этого уравнения (т. е. когда на Так как по предположению дискриминант меняет свой знак при переходе через то прия уравнение (8.1) будет эллиптическим по одну сторону от дуги и гиперболическим по другую, в силу чего (8.1) называется в этом случае уравнением смешанного эллиптико-гиперболического типа первого или второго рода. Важным примером таких уравнений служит известное уравнение Трикоми [51]:

отвечающее значениям Для него дискриминант обращается в нуль вдоль оси выше которой (при является уравнением эллиптического типа, а ниже (при его тип становится гиперболическим. Как показали исследования Трикоми [51] и Чибрарио [80], в общем случае (8.1) также удается добиться того, чтобы параболическая линия стала одной из координатных осей. А именно, было установлено, что при некоторых условиях гладкости коэффициентов путем неособого вещественного преобразования независимых переменных уравнение (8.1) в окрестности линии может быть приведено к канонической форме если (8.1) является смешанным уравнением первого рода, и к виду когда (8.1) принадлежит ко второму роду. Особого внимания заслуживают линейные уравнения рассмотренных видов:

В свою очередь при изучении таких уравнений важную роль играют их прототипы:

получаемые из (8.3) путем отбрасывания младших членов [81], [85], [88].

Наряду с перечисленными выше, представляют интерес также уравнения с нецелыми значениями показателя а именно уравнения (8.1) со степенным вырождением произвольного порядка для которых функция имеет вид , где а — вещественное положительное число, при Подобно (8.4), основными прототипами здесь служат [20], [22], [31]:

В частности, при из (8.5) возникает более простая модель таких уравнений — уравнение смешанного типа с «постоянными» (точнее, с кусочно постоянными) коэффициентами [9], [38], [69], [77]:

Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явилась известная работа Ф. И. Франкля [56]. В ней Ф. И. Франкль впервые обнаруживает важные приложения теории уравнений смешанного типа к проблемам трансзвуковой газовой динамики, а затем в ряде публикаций доказывает, что к смешанным краевым задачам приводятся следующие проблемы:

1) теория околозвуковых течений со свободными границами (истечение сверхзвуковой струи из сосуда с плоскими стенками при максимальном расходе газа) [61], [64];

2) прямая и обратные задачи, связанные: а) с критическими течениями в соплах Лаваля [57], [60], [73]; б) с обтеканием крылового профиля плоскопараллельным потоком газа при числе Маха, на бесконечности равном единице [62], [63], [72];

3) теория сверхзвуковых течений с местной дозвуковой областью (задача набегания сверхзвуковой струи на клин в случае, когда перед ним образуется зона дозвуковых скоростей, причем головная ударная волна проходит через острие клина или отсоединена от него) [56], [58];

4) прямые и обратные задачи, связанные с образованием в дозвуковых потоках местных сверхзвуковых областей (дозвуковые течения внутри сопел Лаваля со сверхзвуковыми зонами на стенках сопла; обтекание дозвуковым потоком

профиля крыла при появлении на нем местных сверхзвуковых областей со скачками уплотнения)

Наряду с этим было также установлено, что смешанный эллиптико-гиперболический характер имеют: уравнение пластического равновесия при плоском напряженном состоянии [50]; уравнения движения воды в открытом русле, когда скорость течения становится выше скорости распространения поверхностных волн [66]; уравнения безмоментного напряженного равновесия оболочек, обладающих кривизной переменного знака [14]; уравнения, описывающие магнитогидродинамические течения с переходом через скорость звука и скорость Альфвена [37]; характеристическое уравнение бесконечно малых изгибаний поверхностей, гауссова кривизна которых меняет знак [5], [25].

Важными для практики результатами новой теории интересуются специалисты в области паровых турбин [23], ракетной техники и т. д.

Из перечисленных приложений следует особо выделить уравнение Моленброка — Чаплыгина, играющее первостепенную роль в газовой динамике околозвуковых скоростей. Это уравнение для функции тока имеет вид [76]

где

причем безразмерная скорость потока, а значение отвечает звуковой скорости. В окрестности линии перехода его коэффициент определяется степенным рядом

причем при Заметим, что подстановка преобразует уравнение (8.7) к каноническому виду (8.3а): где

. С другой стороны, полагая получаем новую важную форму уравнения Чаплыгина:

Таким образом, наряду с главной частью — оператором Трикоми последние два уравнения содержат младшие члены следовательно, являются смешанными уравнениями первого рода с показателем вырождения линии равным единице.

Особенно детально изучалось уравнение (8.10) в частных случаях с [27], [28]. В аналогичном направлении подвергалось обобщению и уравнение (8.6); так, в работах [17], [18], [46] рассматривается уравнение с «постоянными» коэффициентами и другие модели, содержащие наряду с оператором (8.6) младшие члены. Важные приложения в проблемах газовой динамики и магнитогидродинамики нашли и смешанные уравнения второго рода. Так, например, прямые задачи теории сопла Лаваля и крылового профиля привели к необходимости изучать уравнение [70], [92]

где имеет то же значение, что и в (8.7). Нетрудно убедиться, что путем введения новых переменных уравнение (8.11) можно привести к канонической форме (8.36) с дробным показателем вырождения. Например, главная часть, возникающая из (8.11) при преобразуется подстановкой к виду

что равносильно уравнению (8.56) с показателем

Остановимся, наконец, на некоторых других современных направлениях в развитии теории уравнений смешанного типа. В этой связи следует отметить прежде всего работы [6], [29], [52], [82], авторы которых, идя по пути увеличения числа нулевых линий функций изучают уравнения с двумя параллельными и перпендикулярными линиями параболичности

(линии параболичности с двойными точками). Увеличению числа независимых переменных в уравнениях смешанного типа посвящена другая группа исследований [10], [13], [44], [45], [98]. Особое внимание при этом уделялось смешанным краевым задачам для трехмерного модельного уравнения

меняющего свой тип при переходе через параболическую плоскость Уравнения высших порядков с параболическими линиями изучаются в работах [3], [26], [47]-[49], причем полная смешанная краевая задача рассмотрена детально пока лишь для уравнения четвертого порядка с кусочно постоянными коэффициентами:

Наконец, отметим, что в настоящее время положено также начало изучению и систем дифференциальных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа [11], [36], [53], [83].