§ 2. Разделение переменных в двумерном уравнении

1. Прямоугольная область Полагаем

Подставляя в уравнение (4.1), имеем:

откуда

или

Переменные разделены, краевые задачи для решаются независимо.

Первая краевая задача: в точках в точках

Собственные функции (их удобно отмечать двойным индексом):

Собственные значения:

Узловые линии (линии образуют прямоугольную сетку.

Квадрат нормы собственных функций:

Вторая краевая задача. Собственные значения:

Собственные функции:

Квадрат нормы:

здесь и в дальнейшем — символ, обозначающий единицу при и нуль при

Третья краевая задача. Пусть кусочно постоянна:

Собственные значения: где корни уравнений

Собственные функции:

Квадрат нормы:

Смешанные задачи:

Собственные значения:

Собственные функции:

Квадрат нормы:

Собственные значения:

Собственные функции:

Квадрат нормы:

2. Круговая область. Уравнение (4.1) преобразуем к полярным координатам (см. гл. III, § 1, где приведены выражения для оператора Лапласа в различных координатных системах):

Граничные условия задаются на окружности Полагая

получим:

отсюда Для того чтобы было периодической функцией полярного угла и не менялось при изменении угла на 2%, необходимо и достаточно, чтобы где Тогда

Уравнение для оказывается уравнением Бесселя

Его решением, конечным во всем круге, включая начало координат, будет

Первая краевая задача. Уравнение имеет бесчисленное множество положительных корней, которые мы обозначим через Очевидно, что

и собственные функции

Узловые линии образуют полярную сетку.

Выделим собственные функции, обладающие осевой симметрией:

для них узловые линии—концентрические окружности. Квадрат нормы:

Вторая краевая задача. При Уравнение для заменяется уравнением Теперь под подразумеваем корни этого уравнения. Собственные значения:

Собственные функции:

В этих формулах при принимает значения но при имеется корень, отмечаемый нулевыми индексами равный нулю. Соответствующая собственная функция

Собственные функции, обладающие осевой симметрией;

Квадрат нормы:

Третья краевая задача. Пусть постоянная. Собственные значения:

где корень номера уравнения

Собственные функции:

Квадрат нормы:

3. Круговое кольцо с центром в начале координат В этом случае решением уравнения Бесселя, конечным в области, из которой выключено начало координат, будет его общее решение

где функция Неймана.

Первая краевая задача. Граничные условия дают

Условием существования нетривиальных решений будет обращение в нуль определителя системы:

Последнее уравнение определяет счетное множество положительных корней и собственных значений

Отношение также определяется системой Мы можем положить

Собственные функции:

Узловые линии собственных функций образуют полярную сетку.

Квадрат нормы:

Собственные функции с индексом обладают осевой симметрией.

Вторая краевая задача:

Собственные значения: где номер корня. При имеется корень соответствующая собственная функция

Собственные функции определяются формулой (4.16), но с изменившимся значением Квадрат нормы:

Третья краевая задача ( — постоянная). Собственные функции;

где

корень номера уравнения

Собственные значения: — Квадрат нормы:

4. Круговой сектор радиуса R с центральным углом

Первая краевая задача. Собственные функции:

где определяются уравнением

Собственные значения:

Квадрат нормы:

Вторая краевая задача. Собственные функции:

определяются уравнением

Собственные значения:

Квадрат нормы:

Третья краевая задача: кусочно постоянна, при Собственные функции:

Собственные значения:

положительные корни уравнения

корни уравнения

Квадрат нормы:

5. Кольцевой сектор. Область определяется неравенствами

Первая краевая задача. Собственные функции:

где корни уравнения

Собственные значения;

Квадрат нормы: