2. Неравенство Гёльдера для сумм.

Пусть — какие угодно неотрицательные числа. Тогда

где Это неравенство называется неравенством Гёльдера для сумм.

Доказательство. Заметим, что указанное неравенство однородно в том смысле, что если оно выполнено для чисел то оно справедливо и для чисел Поэтому достаточно установить, что при условии так как мы всегда можем разделить числа а, - и t соответственно на величины Записав неравенство Юнга для таких чисел просуммировав эти неравенства по получим

Поэтому что и требовалось.

Замечание. В случае неравенство Гёльдера превращается в неравенство

называемое неравенством Коши — Буняковского для сумм.