2. Дифференцируемость и непрерывность.
Легко доказывается следующее утверждение.
Теорема 5.2. Если функция 
дифференцируема в данной точке х, то она и непрерывна в этой точке.
Доказательство. Так как функция 
дифференцируема в точке х, то для ее приращения А у в этой точке справедливо представление (5.7), из которого следует, что 
, а это и означает непрерывность функции 
в данной точке (в силу разностной формы условия непрерывности (5.4), введенной в 
§ 1). Теорема доказана.
Заметим, что утверждение, обратное к теореме 5.2, несправедливо, т. е. из непрерывности функции 
в данной точке х, вообще говоря, не вытекает дифференцируемость функции 
в этой точке.
Примером может служить функция 
которая, очевидно, непрерывна в точке 
но (как мы уже видели в конце п. 2 § 1) не имеет в этой точке производной.
Отметим, что существуют функции, непрерывные в каждой точке некоторого интервала, но не имеющие производной ни в одной точке этого интервала. (Первый пример такой функции был построен Вейерштрассом. Один из примеров такой функции строится в дополнении к гл. 10.)
