ДОПОЛНЕНИЕ 2. Интеграл Стилтьеса

Понятие интеграла Стилтьеса является непосредственным обобщением понятия интеграла Римана, построению которого была посвящена гл. 9. В настоящем дополнении мы приведем основные сведения об интеграле Стилтьеса.

1. Определение интеграла Стилтьеса и условия его существования.

Понятие интеграла Стилтьеса реализует идею интегрирования функции относительно другой функции

Пусть функции определены и ограничены на сегменте — разбиение этого сегмента

Сумму вида

где называют интегральной суммой Стилтьеса.

Число I называют пределом интегральных сумм (9.2.1) при если для любого найдется такое, что при справедливо неравенство

Определение. Функция называется интегрируемой по функции на сегменте если существует конечный предел интегральных сумм (9.2.1) при Указанный предел называется интегралом

Стилтьеса (или интегралом Римана—Стилтьеса) от функции по функции на сегменте и обозначается символом

Функцию иногда называют интегрирующей функцией.

Т. Стилтьес пришел к идее такого интеграла, рассматривая положительное «распределение масс» на прямой, заданное возрастающей функцией точки разрыва которой соответствуют массам, «сконцентрированным в одной точке».

Интеграл Римана представляет собой частный случай интеграла Стилтьеса, когда в качестве интегрирующей функции взята функция где

Укажем ряд условий существования интеграла Стилтьеса (т. е. условий, когда функция интегрируема по функции

Предположим, что интегрирующая функция является возрастающей. Отсюда следует, что, поскольку все Это позволяет, заменяя на повторить почти все построения, проводимые для интеграла Римана.

Аналогично суммам Дарбу для обычного интеграла Римана вводятся верхняя и нижняя суммы Дарбу—Стилтьеса

где — точные верхняя и нижняя грани функции на сегменте

Суммы (9.2.3) называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу—Стилтьеса.

Как и в случае сумм Дарбу (т. е. в простейшем случае при одном и том же разбиении выполнены неравенства причем и служат точными гранями для стилтьесовых сумм , отвечающих всевозможным выборам промежуточных точек на частичных сегментах.

Суммы Дарбу—Стилтьеса обладают (как и в простейшем случае) свойствами:

а) если к имеющимся точкам разбиения добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу—Стилтьеса может от этого лишь возрасти, а верхняя сумма — лишь уменьшиться;

б) каждая нижняя сумма Дарбу—Стилтьеса не превосходит любой верхней суммы, отвечающей тому же или другому разбиению сегмента

Аналогично тому, как это сделано при построении интеграла Римана, вводятся верхний и нижний интегралы Дарбу—Стилтьеса:

где нижняя и верхняя грани берутся по всевозможным разбиениям сегмента

Легко проверить, что справедливы соотношения

Точно так же, как и в случае обычного интеграла Римана в случае интеграла Стилтьеса доказывается, что верхний интеграл Дарбу—Стилтьеса является пределом верхних сумм при стремлении диаметра разбиений к нулю. Аналогично нижний интеграл Дарбу—Стилтьеса есть предел нижних сумм (см. п. 2, § 2, основную лемму Дарбу).

Сформулируем теперь теорему, которая является обобщением основной теоремы п. 1 § 3 и справедлива в случае интеграла Римана—Стилтьеса.

Основная теорема. Для того чтобы ограниченная на сегменте функция была интегрируемой на этом сегменте по возрастающей функции необходимо достаточно, чтобы для нашлось такое разбиение сегмента для которого

Доказательство этой теоремы (как, впрочем, и других упомянутых выше фактов и свойств) является дословным повторением рассуждений, проведенных для интеграла Римана.

Укажем теперь некоторые классы интегрируемых по Риману — Стилтьесу функций.

1. Если функция непрерывна, а возрастает на сегменте то интеграл Стилтьеса существует.

Доказательство этого факта полностью аналогично доказательству теоремы 9.1 (см. п. 2 § 3).

Замечание. Указанный выше факт справедлив и в том случае, когда функция является функцией ограниченной вариации. Так называются функции определенные на сегменте и обладающие тем свойством что для любого разбиения

числовое множество ограничено сверху.

Точная верхняя грань множества называется полным изменением или полной, вариацией функции на сегменте и обозначается символом

Для функций ограниченной вариации справедлив следующий основной критерий:

Для того чтобы функция имела на сегменте ограниченную вариацию, необходимо и достаточно, чтобы представлялась на этом сегменте в виде разности двух возрастающих и ограниченных функций:

Таким образом, в случае, когда — функция ограниченной вариации, сумму Стилтьеса, отвечающую функции можно записать в виде

где

Суммы стремятся к конечным пределам при стремлении диаметра разбиений к нулю, так как — возрастающие функции. Поэтому существует конечный предел и сумм о при стремлении диаметра разбиений к нулю.

Следовательно, теорию интеграла Стилтьеса можно строить и в случае, когда интегрирующая функция имеет ограниченную вариацию, вполне аналогично случаю возрастающей функции

Выделим еще один класс функций, для которых существует интеграл Стилтьеса.

2. Интеграл Стилтьеса (9.2.2) существует при условии, что функция интегрируема на сегменте по Риману, а функция удовлетворяет на этом сегменте условию Липшица, т. е. условию

где для любых из .

Так как функция, удовлетворяющая условию Липшица, является функцией с ограниченной вариацией, то для доказательства этого критерия, очевидно, достаточно рассмотреть лишь случай возрастающей функции удовлетворяющей условию Липшица, и заметить, что

где — постоянная из условия Липшица. Выражение в неравенстве (9.2.4) может быть сделано, в силу интегрируемости по Риману функции сколь угодно малой величиной за счет выбора разбиения сегмента Следовательно, величина также может быть сделана меньше наперед заданного числа если выбрать диаметр разбиения достаточно малым.

Согласно утверждению основной теоремы функция интегрируема по Стилтьесу.

В общем случае функции удовлетворяющей условию Липшица, также можно рассмотреть представление

В этом представлении обе функции удовлетворяют условию Липшица и возрастают . В таком случае доказательство завершается так же, как и выше.

Укажем, наконец, еще один класс интегрируемых по Стилтьесу функций.

3. Если функция интегрируема на сегменте по Риману, а функция допускает представление в виде интеграла с переменным верхним пределом

где — интегрируемая на сегменте по Риману функция, то интеграл (9.2.2) существует.

Действительно, так как интегрируема по Риману, то она ограничена: Следовательно,

Поэтому справедливость этого критерия вытекает из справедливости предыдущего.

Заметим, что в ряде случаев интеграл Стилтьеса сводится к интегралу Римана по формуле

В частности, равенство (9.2.5) имеет место в случае, если имеет ограниченную и интегрируемую в смысле Римана на сегменте производную . В этом случае