3. Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных.
В случае функции 
двух переменных условие дифференцируемости может быть иллюстрировано геометрически. Введем понятие касательной плоскости к поверхности в точке.
Плоскость П, проходящая через точку 
поверхности, называется касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку 
и любую точку 
поверхности, стремится к нулю, когда точка 
стремится к 
(рис. 12.3).
Если в точке 
существует касательная плоскость, то очевидно, что касательная в точке 
о к любой кривой расположенной на поверхности и проходящей через 
лежит в указанной плоскости.
Рис. 12.3
Убедимся, что из условия дифференцируемости функции 
в данной точке 
вытекает существование касательной плоскости к графику 
этой функции в точке 
Положим 
где 
Очевидно, условие (12.14) дифференцируемости в рассматриваемом случае можно записать следующим образом:
где А и В — постоянные, равные частным производным 
в точке 
— бесконечно малые при 
функции 
Рассмотрим следующее уравнение:
Из аналитической геометрии известно, что это уравнение определяет в декартовой системе координат 
некоторую плоскость П, проходящую через точку 
и имеющую нормальный вектор 
Докажем, что эта плоскость П является касательной плоскостью в точке 
поверхности 
Для этого достаточно убедиться, что: 1) плоскость П проходит через точку 
поверхности 
и 2) угол 
между нормалью 
этой плоскости и любой секущей 
стремится к 
когда точка 
поверхности 
стремится к точке 
Утверждение 1) очевидно. Перейдем к доказательству утверждения 2). Вычислим косинус угла 
воспользовавшись известной формулой для косинуса угла между двумя векторами. Так как координаты вектора 
равны А, В, —1, а координаты вектора 
секущей равны 
(см. рис. 12.3), то
Из условия дифференцируемости функции 
вытекает, что
Поэтому 
когда 
т. е. 
Утверждение 2) доказано.
Таким образом, дифференцируемость функции 
в точке 
с геометрической точки зрения означает наличие касательной плоскости к графику функции 
в точке 
Так как коэффициенты А и В равны соответственно частным производным, вычисленным в точке 
то уравнение касательной плоскости может быть записано в виде
Нормальный вектор 
касательной плоскости принято называть нормалью к поверхности 
в точке 
