В заключение покажем, как с помощью теоремы Лагранжа могут быть получены некоторые весьма полезные неравенства. В качестве примера установим следующие два неравенства:
(Здесь под можно понимать любые значения аргумента.) Для установления неравенства (6.10) применим теорему Лагранжа к функции по сегменту Получим
Учитывая, что и что для любого , получим, переходя в (6.12) к модулям, неравенство (6.10).
Для установления неравенства (6.11) следует применить теорему Лагранжа по сегменту к функции и учесть, что
можно понимать любые значения аргумента.) Для установления неравенства (6.10) применим теорему Лагранжа к функции 
по сегменту 
Получим
и что 
для любого 
, получим, переходя в (6.12) к модулям, неравенство (6.10).
к функции 
и учесть, что 