2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Совокупность всех элементов произвольной последовательности образует некоторое числовое множество. Отправляясь от понятий ограниченного сверху, снизу или с обеих сторон множества, мы приходим к следующим определениям.

Определение 1. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует вещественное число М (вещественное число такое, что каждый элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству

При этом число М (число называется верхней гранью (нижней гранью) последовательности а неравенство называется условием ограниченности этой последовательности сверху (снизу).

Отметим, что любая ограниченная сверху последовательность имеет бесконечное множество верхних граней и что в условии ограниченности последовательности сверху в качестве М может браться любая из верхних граней. Аналогичное замечание относится и к нижним граням ограниченной снизу последовательности.

Определение 2. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон (или просто ограниченной), если она ограничена и сверху, и снизу, т. е. если существуют два

вещественных числа такие, что каждый элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам

При этом числа и М называются соответственно нижней и верхней гранями последовательности а неравенства (3.3) называются условием ограниченности последовательности

Подчеркнем, что в условии ограниченности (3.3) могут фигурировать любая нижняя и любая верхняя грани последовательности. Определение ограниченности последовательности требует существования хотя бы одной пары вещественных чисел и М таких, что для любого элемента последовательности справедливы неравенства (3.3).

Заметим, что условие ограниченности последовательности можно записать не только в форме удовлетворения неравенствам (3.3), но и в другой эквивалентной форме: последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует положительное вещественное число А такое, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству

В самом деле, если каждый элемент удовлетворяет неравенству (3.4), то, положив мы получим, что удовлетворяет неравенствам (3.3). Если, наоборот, каждый элемент удовлетворяет неравенствам (3.3), то, обозначив через А наибольшее из двух чисел мы можем утверждать, что удовлетворяет неравенству (3.4).

В соответствии с определением 2 ограниченной последовательности и условием ограниченности, взятым в форме (3.4), мы можем определить понятие неограниченной последовательности.

Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного вещественного числа А найдется хотя бы один элемент последовательности удовлетворяющий неравенству

С точки зрения этого определения всякая последовательность, которая ограничена только сверху или только снизу, является неограниченной.

Так, например, последовательность ограничена только снизу и является неограниченной: какое бы положительное вещественное число А мы ни взяли, найдется элемент этой последовательности с четным номером, удовлетворяющий неравенству (3.5).

Последовательность очевидно, является ограниченной: каждый элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам (3.3) при любых

Введем теперь понятия бесконечно большой и бесконечно малой последовательностей.

Определение 3. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного вещественного числа А найдется номер такой что при всех элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству (3.5).

Очевидно, что всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, ибо определение бесконечно большой последовательности требует, чтобы для любого неравенству (3.5) удовлетворяли все элементы последовательности, начиная с некоторого номера а определение неограниченной последовательности требует, чтобы для любого неравенству (3.5) удовлетворял хотя бы один элемент последовательности.

Вместе с тем не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Так, например, рассмотренная выше последовательность будучи неограниченной, не является бесконечно большой, ибо для любого неравенство (3.5) не имеет места для элементов со сколь угодно большими нечетными номерами

Определение 4. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого положительного вещественного числа найдется номер такой, что при всех элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству

Докажем, что последовательность является бесконечно большой при и бесконечно малой при

Пусть сначала Тогда где Используя формулу бинома Ньютона, можем записать

Отсюда следует неравенство

Фиксируем произвольное положительное число А и выберем по нему номер такой, чтобы было справедливо неравенство

Убедимся в том, что по любому можно выбрать номер удовлетворяющий неравенству (3.8). Договоримся обозначать символом целую часть положительного вещественного числа х.

Поскольку неравенство (3.8) эквивалентно неравенству то этому неравенству заведомо будет удовлетворять номер выбранный из условия

Заметим теперь, что поскольку то из свойств произведения вещественных чисел мы получим, что при всех

Сопоставляя неравенства (3.7), (3.8) и (3.9), мы получим, что для любого найдется номер такой, что при

Это и доказывает, что при последовательность является бесконечно большой.

Рассмотрим теперь случай Мы должны доказать, что в этом случае последовательность является бесконечно малой.

Исключая тривиальный случай положим где Используя, как и выше, бином Ньютона, мы вместо (3.7) получим неравенство

Фиксируем произвольное положительное число и выберем по нему номер такой, чтобы было справедливо неравенство

В силу того, что неравенство (3.8) эквивалентно неравенству для выбора указанного номера достаточно положить . Далее, поскольку, в силу свойств произведения вещественных чисел, при для всех справедливо неравенство

то из сопоставления неравенств (3.7), (3.8) и (3.9) мы получим, что для любого найдется номер такой, что при всех справедливо неравенство

Это и доказывает, что при последовательность является бесконечно малой.