2. Второй замечательный предел.

Теорема 4.8. Предел функции в точке существует и равен числу

Доказательство. Достаточно доказать, что как правый, так и левый пределы функции в точке существуют и оба равны .

1) Сначала докажем, что правый предел указанной функции в точке существует и равен .

В силу определения правого предела по Коши достаточно доказать, что для любого найдется отвечающее ему такое,

что для любого х из интервала справедливо неравенство

Фиксируем произвольное и рассмотрим две последовательности с элементами

Убедимся в том, что обе эти последовательности сходятся к . В самом деле, поскольку в силу то на основании теорем о пределе частного и произведения двух сходящихся последовательностей мы получим, что

Так как обе последовательности сходятся к то для фиксированного выше найдутся номера такие, что при при Пусть — это наибольший из двух номеров Тогда, очевидно, при будут справедливы оба неравенства:

Теперь для завершения доказательства существования равного правого предела функции в точке убедимся в том, что если взять то для любого х из интервала будет справедливо неравенство (4.20).

В самом деле, пусть х — любое число из интервала

Тогда Обозначив через целую часть числа т. е. положив мы, во-первых, с помощью неравенства — можем утверждать, что а во-вторых, можем утверждать, что справедливы неравенства

Из (4.22) вытекают неравенства

Из сопоставления неравенства (4.22) со вторым неравенством (4.23) и из свойства возрастания показательной функции с основанием, большим единицы, вытекает, что

Итак, мы доказали, что для любого х из интервала при некотором зависящем, конечно, от х, будут справедливы неравенства а значит, и неравенства

Из сопоставления (4.24) с неравенствами (4.21), справедливыми для любого мы окончательно убедимся в том, что для любого х из интервала будут справедливы неравенства (4.20).

2) Докажем теперь, что и левый предел функции в точке существует и равен .

В силу определения левого предела по Гейне достаточно доказать, что для любой бесконечно малой последовательности отрицательных чисел соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Пусть — произвольная бесконечно малая последовательность отрицательных чисел. Эту последовательность мы будем рассматривать, начиная с того номера с которого все элементы по модулю меньше единицы.

Положим , так что Тогда, очевидно, будет являться бесконечно малой последовательностью, состоящей из положительных чисел, причем

Таким образом,

при условии, что существуют пределы в правой части (4.25). Но поскольку сходится к нулю и состоит из положительных чисел, то (в силу уже доказанного существования равного правого предела), Тем самым доказано, что последовательность сходится к числу е. Теорема 4.8 полностью доказана.

Следствие. Предел функции при существует и равен .

В силу определения предела при по Гейне требуется доказать, что для любой бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность значений функции сходится к числу е. Мы будем рассматривать бесконечно большую последовательность начиная с того номера с которого все ее элементы по модулю превосходят единицу. Положим так что . В силу теоремы 3.6 из гл. 3 последовательность является бесконечно малой, причем

Остается заметить, что в силу теоремы 4.8