§ 3.4. Пример получения корреляционной функции из теоретических соображений

Человеческий разум может представить себе стохастическую функцию совершенно тем же путем, каким он представляет предсказуемую функцию. Предсказуемую функцию можно определить на языке геометрических фигур. Например, функцию можно определить с помощью прямоугольного треугольника, у которого — острый угол, а у — отношение стороны, противолежащей углу , к гипотенузе. Мы можем считать прямоугольный треугольник «процессом», определяющим функцию Подобным же образом

стохастическую функцию можно определить в терминах процесса, ее генерирующего. В этом параграфе мы покажем на примере, как можно определить стохастическую функцию. Мы покажем также, как можно рассчитать корреляционную функцию стохастического сигнала при помощи теоретических аргументов, берущих начало в определении самого стохастического процесса.

Вообще существует два принципиальных пути расчета корреляционных функций стохастических сигналов: один путь — рассмотрение усреднения по ансамблю, другой-—рассмотрение усреднения по времени.

Рис. 3.4-1. Примеры формы сигнала

Иногда пользуются гибридным методом, применяя как временное усреднение, так и усреднение по ансамблю. Важно произвести правильный выбор метода расчета корреляционной функции, чтобы по возможности быстрее и проще прийти к результату. Как произвести такой выбор, лучше всего учит опыт. До того, как испытание произведено, кажется, что наилучший путь — испытать один метод вслед за другим, а затем, в соответствии с характером испытания и ошибками, установить, какой из них лучше.

В первом примере получения корреляционной функции из теоретических соображений рассмотрим стохастический сигнал определенный следующим образом. Примем, что всюду в бесконечном интервале времени имеются случайные точки, равномерно распределенные по оси частот V. Функция постоянна между случайными точками и имеет величинуили Значения функции, определенные в течение периода от каждой случайной точки до ближайшей, в целом образуют случайный процесс, такой, что значения имеют место с одинаковой вероятностью. На рис. 3.4-1 приведены

примеры формы колебаний, которую может принять Один из путей получения графика состоит в бросании монеты в каждой случайной точке. Если монета падает вверх гербом, приписываем величину если монета падает вверх решеткой, приписываем величину

Чтобы найти корреляционную функцию, мы применим, согласно вышесказанному, временное усреднение. Предположим сначата, что Этот случай приведен на рис. 3.4-1 (при положительном ). Замечаем, что произведение на интервале времени, равном длине первоначального периода минус Оно равно если функция не меняет знака в обеих случайных точках (см. рисунок), и если функция меняет знак в одной из случайных точек. Так как изменение или неизменность знака в равной мере вероятны, то средняя величина для всего времени в каждом периоде равна нулю.

Рис. Корреляционная функция стохастического сигнала Мы можем поэтому написать

Тогда корреляционная функция, являющаяся средним по времени от произведения имеет выражение

Рассмотрим далее случай Здесь произведение означает умножение значения относящегося к одному периоду, на значение относящееся к одному из двух, отличных от первого периодов (исключая тот случай, когда равен целому числу периодов; при этих условиях произведение содержит величину, всегда относящуюся к единственному, отличному от первого, периоду). Так как значение в одном периоде с одинаковой

вероятностью может иметь тот же знак, что и значение в другом, отличном периоде, или противоположный, то отсюда следует, что

Усредняя произведение по времени, находим, корреляционную функцию

Уравнения (3.4-3) (3.4-5) и определяют корреляционную функцию на всем интервале изменения т. Корреляционная функция, определенная этими двумя уравнениями, показана на рис. 3.4-2. Этим заканчивается рассмотрение нашего первого примера.