§ 4.5. Пример

В качестве первого примера определения значения параметра, минимизирующего средний квадрат ошибки регулируемой системы, рассмотрим задачу выбора коэффициента усиления позиционного сервомеханизма, следящего за входным сигналом с ошибкой, наименьшей в среднеквадратичном смысле. Заданный входной сигнал имеет прямоугольную форму со значениями плюс или минус и нуль в точках пересечения с осью времени; нули подчиняются распределению Пуассона при средней частоте V. Такой входной сигнал рассматривался в § 3.6. Предположим, что вход этой позиционной системы регулирования свободен от шумов. При конструировании позиционных сервомеханизмов зачастую можно принять, что вход свободен от шумов. Назначением позиционного сервомеханизма является воспроизведение входного сигнала. Поэтому желаемый выход полагается тождественным с входным сигналом. Фиксированным элементом этого сервомеханизма будем считать сервомотор, за исключением его коэффициента усиления. По предположению, предаточная функция мотора описывается произведением предаточных функций звеньев интегрирующего и апериодического с постоянной времени а цепь обратной связи сервомеханизма имеет передаточную функцию, равную единице. Компенсирующей цепью считается усилительное звено с коэффициентом усиления, величина которого выбирается конструктором. Найдем, во-первых, средний квадрат ошибки в функции коэффициента усиления. После того как это сделано, определим величину коэффициента усиления, минимизирующую средний квадрат ошибки. Прежде чем переходить к решению, резюмируем постановку этой задачи в символах.

Дано. Для решения задачи описание входного сигнала, приведенное в начале параграфа, заменим его корреляционной функцией. Решение зависит только от корреляционной функции и не зависит от других характеристик сигнале. Как показано в § 3.6, корреляционная функция данного входного сигнала будет

Тот факт, что вход свободен от шумов, можно записать так:

Идентичность желаемого выхода с входным сигналом устанавливается соотношением

Поскольку сервомотор описывается произведением интегрирующего звена на инерционное звено с постоянной времени заключаем, что фиксированный элемент в нашей задаче характеризуется передаточной функцией

Предположение, что цепь обратной связи имеет единичную передаточную функцию, записывается соотношением

Компенсирующая цепь характеризуется выбираемым коэффициентом усиления; это выражается соотношением

Индекс обозначает здесь, что коэффициент усиления равен значению установившейся скорости сервомеханизма. Последнее верно потому, что мы выбрали в качестве коэффициента передачи компенсирующей цепи коэффициент усиления сервомотора. Шесть приведенных уравнений являются краткой записью заданных условий задачи.

Требуется найти. 1) Средний квадрат ошибки в функции коэффициента усиления скорости и 2) значение минимизирующее

В этом заключается постановка задачи.

Решение. Так как помеха во входном сигнале отсутствует, то равны нулю все корреляционные функции, включающие шум, и следовательно, равны нулю соответствующие спектральные плотности. Таким образом, в этой задаче уравнение (4.4-12) для спектральной плотности ошибки переходит в уравнение

Так как желаемый выход идентичен входному сигналу, то передаточная функция связывающая желаемый выход со входом, равна единице. Следовательно, передаточная функция ошибки равна единице минус передаточная функция замкнутой системы . В нашей задаче передаточная функция замкнутой системы

Таким образом, передаточная функция ошибки

Спектральная плотность входного сигнала, которая получается путем преобразования Фурье корреляционной функции, заданной соотношением (4.5-1) и делением на имеет вид

Подставляя передаточную функцию ошибки из (4.5-9) и спектральную плотность входного сигнала из (4.5-10) в уравнение (4.5-7), получим спектральную плотность ошибки в виде

где

и

Средний квадрат ошибки находится по спектральной плотности сигнала ошибки с помощью интеграла (4.4-2), который снова приведен здесь с тем, чтобы сохранить последовательность изложения

Этот интеграл вычислен с помощью формулы для из таблицы определенных интегралов (приложение V) для случая спектральной плотности ошибки, заданной уравнением (4.5-11). В результате получено

Это соотношение выражает средний квадрат ошибки в функции и других параметров, характеризующих систему и сигнал. Тем самым, следовательно, установлен первый искомый результат.

Результат, выражающий средний квадрат ошибки в функции можно записать более кратко через нормированную частоту сигнала и нормированный коэффициент усиления К, которые определены следующим образом:

и

Отношение среднего квадрата ошибки к квадрату амплитуды сигнала выражается через эти нормированные параметры так:

в любой частной задаче фиксированы, а К выбирается конструктором.

Зададимся теперь вопросом: какое значение должно иметь К, чтобы минимизировать средний квадрат ошибки? Поступая формально, дифференцируем обе стороны (4.5-17) по К и получаем

Если мы положим эту производную равной нулю, то заметим, что конечных значений R, удовлетворяющих такому уравнению, не существует.

Рис. 4.5-1. Среднеквадратичная ошибка в функции коэффициента усиления для системы второго порядка при входном воздействии прямоугольной формы со случайными нулевыми точками.

Рассмотрение (4.5-8) показывает, что а следовательно и К, должно быть больше или равно нулю, чтобы регулируемая система обладала устойчивостью. Заметим, что для положительных К

наклон среднего квадрата ошибки в функции К всегда отрицателен при и всегда положителен при При 1 К должно быть по возможности наибольшим, так как наименьшее значение функция приобретает при бесконечном К. При 1 для минимизации среднего квадрата ошибки нормированный коэффициент усиления К следует положить равным нулю. При из (4.5-17) вытекает, что значение среднего квадрата ошибки не зависит от значения коэффициента К.

Рис. 4.5-2. Ошибка системы второго порядка при ступенчатом входном воздействии: с) вход; б) ошибка при ошибка при

На рис. 4.5-1 изменение ошибки с изменением коэффициента усиления показано графически. На этом рисунке мы предпочли взять среднеквадратичное значение ошибки, а не ее средний квадрат. Это сделано для того, чтобы нанесенные на рисунок переменные соответствовали величинам, обычно измеряемым в лаборатории. Среднеквадратичная ошибка функции К приведена при четырех значениях нормированной частоты сигнала Чтобы перекрыть большую область значений коэффициента усиления, что необходимо для иллюстрации данной функциональной зависимости, по оси абсцисс употребляется логарифмическая шкала. При среднеквадратичная ошибка с увеличением коэффициента усиления непрерывно растет. Это типично для поведения системы при при этом условии для минимизации среднеквадратичной ошибки коэффициент усиления следует сделать равным нулю, то есть сервомотор должен быть выключен. Кривая при соответствует критическому случаю, когда среднеквадратичная ошибка не зависит от величины коэффициента усиления. При этом условии также сервомеханизм может быть просто выключен. При сервомеханизм способен в некоторой мере следить за входным сигналом.

Способность слежения возрастает с возрастанием коэффициента усиления и с уменьшением При наименьшее значение среднего квадрата ошибки имеет место всегда при бесконечном коэффициенте усиления и равно значению среднего квадрата входного сигнала, умноженному на Однако выбор коэффициента усиления много больше единицы дает незначительный выигрыш, так как с увеличением коэффициента усиления от единицы до бесконечности среднеквадратичная ошибка уменьшается очень медленно. В самом деле при малых значениях среднеквадратичная ошибка при нормированном коэффициенте усиления только в раз больше своего минимального значения при К, равном бесконечности. Из дальнейшего будет видно, что частота среза сервомотора по порядку величины должна быть несколько выше средней частоты появления нулей во входном сигнале с тем, чтобы сервомотор имел допустимую среднеквадратичную ошибку. Если, например, сервомотор имеет постоянную времени 0,01 сек, соответствующую частоте среза 100 рад/сек, и соответствующий равен единице, то при средней частоте появления нулей 0,1 в секунду отношение среднеквадратичной ошибки к среднеквадратичному значению входа равно 0,063.

Для разъяснения весьма своеобразного результата этого примера — а именно, что для минимизации среднеквадратичной ошибки сервомеханизма, способного вообще осуществлять слежение, иужно применять бесконечный коэффициент усиления — оценим точность системы при очень больших коэффициентах усиления. Рассмотрим, как реагирует такая система на входной сигнал с единственным нулем, который показан на рис. 4.5-2,а. Ошибка реакции на этот сигнал дается соотношением

Здесь означает текущее время с момента появления нулевой точки. Ошибку можно получить путем обратного преобразования правой части соотношения (4.5-9), умноженной на преобразование входной единичной функции с амплитудой Типичные ошибки показаны на рис. 4.5-2,б и 4.5-2,в. Эти ошибки соответствуют значениям нормированного коэффициента усиления 10 и 100 соответственно. Заметим, что экспоненциальная огибающая затухающих колебаний не зависит от значения коэффициента усиления; постоянная времени этой огибающей есть удвоенная постоянная времени

мотора. С увеличением коэффициента усиления число колебаний, охватываемых огибающей в данный отрезок времени, растет как корень квадратный из коэффициента усиления. Предположим, что значение коэффициента усиления очень велико. Число колебаний, охватываемых огибающей, также становится большим, их форма вытягивается и каждое колебание неотличимо от одного колебания синусоиды.

При мы можем найти предельное значение среднего квадрата ошибки следующим образом. Вычислим, во-первых, значение интеграла от квадрата экспоненциальной огибающей. Учтем, далее, что в действительности колебания очень слабо затухают. Сделаем это путем умножения указанного интеграла на отношение среднего квадрата синусоиды к квадрату пикового значения. Это отношение равно Значение интеграла от квадрата ошибки на сигнал с единственным нулем умножается затем на число нулей в достаточно большом интервале Т. Разделив полученное значение интеграла от квадрата ошибки в интервале Т на длину этого интервала, получим средний квадрат ошибки. В символах первый шаг представляется так:

Очевидно, что интеграл в правой части

Таким образом, значение интеграла от квадрата ошибки на сигнал с единственным нулем равно

Среднее число нулей в интервале Т является просто средней частотой умноженной на Т. Таким образом, значение среднего квадрата ошибки дается соотношением

которое преобразуется в выражение

Это значение совпадает с тем, которое дает уравнение (4.5-17) при бесконечном К. С точки зрения наложения ошибок от сигналов с

единственным нулем такой результат может показаться неожиданным. Однако следует напомнить, что нули распределены случайно, и поэтому переходные колебания являются некогерентными.

В заключение следует заметить, что крайняя простота данного примера приводит к необычному результату — непрерывному уменьшению среднеквадратичной ошибки с увеличением коэффициента усиления. Это явление тесно свизано с тем фактом, что система второго порядка при увеличении коэффициента усиления никогда не становится неустойчивой. Если бы в данной задаче фиксированный элемент был более близок к действительному, то система имела бы порядок выше второго и при достаточно большом коэффициенте усиления стала бы неустойчивой. При этих обстоятельствах коэффициент усиления, соответствующий минимуму среднеквадратичной ошибки, был бы конечным. Другие примеры приведены в конце этой кнши (см. задачи) и в [23].