ГЛАВА 4. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ, МИНИМИЗИРУЮЩИХ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНУЮ ОШИБКУ

§ 4.1. Реакция линейной системы на стохастический входной сигнал

В предыдущей главе мы выяснили значение стохастических сигналов для исследования систем автоматического регулирования. Мы установили, что стохастические сигналы удобно (хотя это и не единственный способ) характеризовать корреляционной функцией. Связь одного сигнала с другим в паре сигналов характеризуется, как мы видели, взаимно-корреляционной функцией. В этой главе мы приложим наши знания о стохастических сигналах к задаче минимизации среднеквадратичной ошибки системы посредством выбора параметров. По предположению, структурная схема автоматической системы полностью задана. Мы обязаны, следовательно, выразить среднеквадратичную ошибку через параметры системы. Это можно сделать, используя преобразование корреляционной функции, называемое спектральной плотностью. В первых двух параграфах этой главы обсуждается реакция линейной системы на стохастический входной сигнал и показывается, почему удобно ввести преобразование корреляционной функции, и почему это преобразование называется функцией спектральной плотности.

Рис. 4.1-1. Блок-схема линейной системы.

На рис. 4.1-1 показана линейная система в целом. Она полностью описывается своей весовой функцией связывающей вход с выходом Очевидно, если является стохастическим сигналом, то также будет стохастическим сигналом. Найдем связь корреляционной функции на входе с корреляционной функцией на выходе. Применив интеграл свертки, находим, что

Соответственно

По определению корреляционной функции имеем

Подставляя в это уравнение значения из (4.1-1) и (4.1-2), получим выражение корреляционной функции на выходе

Изменяя порядок предельного перехода и интегрирования так, чтобы сначала выполнялось интегрирование по имеем

Вспомнив определение корреляционной функции входного сигнала, видим, что

Это позволяет нам написать

где корреляционная функция выходного сигнала выражается через корреляционную функцию входного сигнала и весовую функцию системы. Это общее соотношение имеет силу для любой линейной системы.

Сходным путем мы можем получить выражение для взаимно-корреляционной функции между входным и выходным сигналами. Напомним, что взаимно-корреляционная функция определяется так:

Подставляя вместо правую часть (4.1-2), получаем

Изменение порядка интегрирования и выполнение предельного перехода по Т позволяет нам написать

Это уравнение выражает взаимно-корреляционную функцию между входным и выходным сигналами через корреляционную функцию входного сигнала и весовую функцию системы. Для линейных систем оно также является одним из основных.

Приведенным выражениям взаимно-корреляционной и корреляционной функций можно дать простую физическую интерпретацию. Заметим, что, согласно (4.1-10), взаимно-корреляционная функция является сверткой весовой функции системы и корреляционной функции входного сигнала. Таким образом, взаимно-корреляционную функцию можно представить как реакцию линейной системы, возбуждаемой корреляционной функцией входного сигнала. Заметим далее, что, подставии в правую часть (4.1-7) взаимно-корреляционную функцию (4.1-10), получим для корреляционной функции выходного сигнала следующее выражение:

Таким образом, корреляционную функцию выходного сигнала можно представить как свертку весовой функции системы и взаимно-корреляционной функции при условии, разумеется, что отсчитывается назад от положительных величин через нуль по направлению к минус бесконечности. Такая интерпретация вытекает из положительности знака перед переменной интегрирования появившейся в аргументе взаимно-корреляционной функции.

Чтобы специально проиллюстрировать эти соотношения, допустим, что корреляционная функция входа дается выражением

Следует вспомнить из главы 3, что эта корреляционная функция соответствует сигналу, имеющему значения или плюс или минус и нули, распределенные по Пуассону со средней частотой Система первого порядка с постоянной времени секунд имеет функцию веса

При корреляционной функции входа (4.1-12) и функции веса (4.1-13), применяя уравнение (4.1-10), найдем, что взаимная корреляция между входным и выходным сигналами будет

Подставляя это значение взаимно-корреляционной функции в (4.1-11), получим выражение корреляционной функции на выходе

На рис. 4.1-2 приведены корреляционная функция на входе, весовая функция, взаимно-корреляционная функция и корреляционная функция на выходе сек.

Рис. 4.1-2. Соотношения между корреляционными функциями в линейной системе: а) весовая функция системы; б) корреляционная функция входа; в) взаимно-корреляционная функция между входом и выходом; г) корреляционная функция выхода.

Заметим, что взаимно-корреляционная функция входного и выходного сигналов не является четной функцией т. Но повторная свертка взаимно-корреляционной функции с весовой функцией системы позволяет получить корреляционную функцию выходного сигнала в виде четной функции. Это и должно иметь место, так как корреляционная функция обязательно четна по определению.