§ 3.5. Распределение Пуассона

В предшествующем примере случайные точки располагались во времени равномерно. В нижеследующем примере случайные точки распределены во времени особым образом. Прежде чем мы сможем перейти к этому примеру, необходимо рассмотреть случайное распределение частного вида.

На рис. 3.5-1 показан образец распределения случайных точек. Подлежащее рассмотрению случайное распределение частного вида определяется тремя гипотезами.

Рис. 3.5-1. Пример распределения случайных точек.

Первая гипотеза устанавливает, что вероятность нахождения некоторого определенного числа случайных точек в определенном интервале времени не зависит от расположения этого интервала на оси времени и от того, что имело место на любых других интервалах как близких, так и далеких. Согласно второй гипотезе, вероятность нахождения в интервале точно одной случайной точки приближенно, с точностью до постоянного множителя, равна длине интервала, когда стремится к нулю. Соотношение (3.5-1) дает краткое выражение второй гипотезы

В этих соотношениях символ означает вероятность нахождения одной случайной точки на интервале Символ у является константой пропорциональности. Эта константа, как будет показано, равна средней частоте появления случайных точек. Третья гипотеза заключается в том, что вероятность нахождения в интервале более чем одной точки имеет более высокий порядок, чем при стремящемся к нулю. Эта гипотеза кратко выражена следующим соотношением:

Исходя из трех гипотез, попытаемся получить вероятность нахождения определенного числа случайных точек в определенном интервале времени.

Чтобы проиллюстрировать получение распределения вероятности случайных точек, рассмотрим сначала вероятность отсутствия точек в интервале Т. Предположим, что интервал Т разбит на некоторое число подынтервалов Единственная возможность, при которой в интервале Т может не быть точек, состоит в том, что их не содержит также и любой подынтервал Так как в соответствии с первой гипотезой, попадание случайных точек в какой-либо один подынтервал не зависит от их попадания в некоторый другой подынтервал, то вероятность отсутствия случайных точек в интервале Т является произведением вероятностей отсутствия случайных точек в каждом подынтервале интервала Т. Это положение выражается уравнением

Отношение Т к представляет собой число подынтервалов. Допустим теперь, что в интервале может находиться некоторое число (лежащее между нулем и бесконечностью) случайных точек. Сумма вероятностей взаимно исключающих событий: нахождения в интервале точно нуля случайных точек, точно одной случайной точки, точно двух случайных точек, точно трех случайных точек и т. д. равна единице. Тогда вероятность нахождения в интервале нуля случайных точек может быть выражена так:

При стремящемся к нулю, это выражение дает

что вытекает из соотношений (3.5-1) и (3.5-2), выражающих вторую и третью гипотезы. Как следствие выражений (3.5-5), (3.5-3) получаем

В математике показано, что

Поэтому для вероятности нахождения в интервале Т нуля случайных точек имеем

Мы распространим теперь рассуждения, использованные в начале параграфа, на более сложный случай определения вероятности попадания в Т интервал случайных точек.

Рис. Один из способов расположения случайной точки в интервале Т.

Если равно единице, то существует несколько возможностей попадания одной точки в интервал Т; число этих возможностей равно числу подынтервалов, содержащихся в Т.

Могут быть такие случаи: одна случайная точка в первом подынтервале и нуль случайных точек во всех следующих подынтервалах; одна случайная точка во втором подынтервале и нуль случайных точек во всех других подынтервалах и т. д. Один из таких случаев иллюстрируется рис. Так как эти случаи являются взаимно исключающими событиями, а вероятности каждого из событий равны, то

Если больше единицы, то способы, которыми случайные точки могут попасть в интервал Т, становятся более многочисленными. Во-первых, это те способы, при которых по одной случайной точке попадает в подынтервалов, и нуль случайных точек во все остальные подынтервалы. Число этих способов равно числу комбинаций из подынтервалов, которое может быть образовано из полного числа подынтервалов Далее идут способы, при которых две случайные точки попадают в один подынтервал и по одной случайной точке в каждый из подынтервалов. Число таких способов равно числу комбинаций из подынтервалов, содержащихся в полном числе подынтервалов, умноженному на Умножение на позволяет учесть те способы, при которых подынтервал, содержащий две случайные точки, может быть выбран из подынтервалов. Точно так же учтем еще оставшиеся способы, при которых в каждом из подынтервалов находятся по две случайные точки, в подынтервалах по одной случайной точке и нуль точек во всех остальных подынтервалах. К этому мы должны прибавить все другие способы вплоть до того, при котором

случайных точек находятся в одном подынтервале. Аналогично, существуют способы, учитывающие попадание трех случайных точек в один или более подынтервалов, четырех случайных точек в один или более подынтервалов и т. д. Поэтому вероятность нахождения в Т интервале случайных точек может быть выражена так:

В соответствии с выражением (3.5-5) имеем

Обобщая выражение (3.5-7), получаем

В соответствии с выражением (3.5-1)

Заметим, что

В соответствии с третьей гипотезой, выраженной в (3.5-2), все члены уравнения (3.5-10), начиная со второго, стремятся к нулю. Поэтому приходим к выводу, что

Когда вероятность нахождения случайных точек в интервале Т задана уравнением (3.5-15), мы говорим, что случайные точки распределены по Пуассону. Рис. 3.5-3 изображает графически распределение Пуассона, заданное уравнением (3.5-15). Это распределение является дискретной функцией переменной и непрерывной функцией переменной Т. Одним из примеров физического процесса, описываемого распределением Пуассона, является поступление электронов на пластинку вакуумной трубки при постоянном среднем токе,

проходящем через пластинку. Другим примером может служить распад атомов радиоактивного элемента (при условии, что радиоактивный элемент непрерывно пополняется, так что его масса сохраняется постоянной).

Чтобы проиллюстрировать применение распределения Пуассона при вычислениях, подсчитаем среднюю частоту случайных точек.

Для этого рассмотрим А интервалов, длиной Т каждый.

Пусть представляет число интервалов, содержащих точно случайных точек.

Рис. 3.5-3. Распределение Пуассона.

Средняя частота задается приблизительно отношением полного числа случайных точек в А интервалах к полной длине А интервалов.

Полное число случайных точек можно выразить суммой числа интервалов, содержащих одну случайную точку, удвоенного числа интервалов, содержащих две случайные точки, утроенного числа интервалов, содержащих три случайные точки, и т. д. Отношение становится все более хорошим приближением к средней частоте с увеличением числа интервалов до бесконечности. Средняя частота, следовательно, задается так:

Из частотного определения вероятности известно, что

Поэтому средняя частота

Подставляя сюда выражение распределения Пуассона из (3.5-15), находим:

Заменяя на и вынося из-под знака суммы множитель и экспоненту, получаем

Но

поэтому

Мы видим теперь, что средняя частота равна — коэффициенту пропорциональности в выражении первой гипотезы (3.5-1). Интуитивно этого можно было ожидать.