§ 7.3. Задача минимизации при учете насыщения в системах с частично заданной структурной схемой

Задача минимизации средней квадратичной ошибки при ограничении с.к.з. насыщенного сигнала была поставлена в § 7.1 (см. рис. 7.1-1). Обращаясь к рис. 7.1-1, легко видеть, что должна быть минимизирована величина при ограничении

где максимально допустимое среднее квадратичное значение насыщенного сигнала. Процесс решения этой задачи включает получение у (0 как функции и Затем определяется в зависимости от Так как функция неизвестна, то, согласно методу множителей Лагранжа, определяем функционал

где есть множитель Лагранжа. Так как представляют собой функционал неизвестной функции то на основании известных приемов вариационного исчисления, из условия минимума получаем интегральное уравнение для При этом является функцией множителя Лагранжа После решения этого интегрального уравнения функция подставляется в выражение для Множитель Лагранжа выбирается при этом так, чтобы удовлетворялось ограничение (7.3-1). Далее найденная величина подставляется обратно в что дает решение для искомой функции веса корректирующего элемента. Определение являющейся функцией , следовательно, функцией завершает решение.

Рассмотрим теперь намеченную схему решения более подробно. Выражения для можно определить, применяя повторно интеграл свертки. Согласно рис. 7.1-1, имеем

Если выразить сигнал на выходе как функцию то получим

Для сигнала в зависимости от имеем

Возводя обе части (7.3-3) в квадрат и подставляя в полученное выражение (7.3-4), имеем

Новые переменные введены для того, чтобы избежать путаницы в кратном интеграле. Аналогично для квадрата насыщенного сигнала находим

Вычисляем среднее от обеих частей равенств (7.3-6) и (7.3-7). Если при этом заменить среднее от произведений функций корреляционными функциями, то получим

Средний квадрат насыщенного сигнала оказывается равным

Подставляя (7.3-8) и (7.3-9) в (7.3-2), получаем функционал, который необходимо минимизировать, а именно

Согласно методам вариационного исчисления, следует положить

где — вариация — значение при котором имеет минимум.

Если подставить (7.3-11) в (7.3-10), то получим как функцию Тогда стационарное значение определяется из условия равенства нулю производной от Именно является решением, если

Дифференцирование по аналогично соответствующей процедуре для выражений (5.2-18) и (6.1-10). Следовательно, ее можно здесь опустить. Выполняя операции согласно (7.3-12), получим

Так как функция соответствует физически осуществимой системе, то она равна нулю для и является произвольной для . Следовательно, выражение, заключенное в квадратные скобки в (7.3-13), должно быть равно нулю для Это дает следующее интегральное уравнение для функции

Сравнивая полученное уравнение с (5.4-1), мы видим, что оно является интегральным уравнением типа Винера — Хопфа. Для этого надо лишь ввести следующие обозначения:

В § 5.4 формула (5.4-28) дает точное решение уравнения Винера—Хопфа. Решение дается в зависимости от изображения Фурье функций Определим изображения Фурье функций (7.3-15) и (7.3-16). Тогда получим

Подставляя эти изображения в формулу (5.4-28), получаем передаточную функцию корректирующего звена в зависимости от передаточных функций функций спектральной плотности и множителя Лагранжа

Для завершения решения, как было указано, необходимо определить в зависимости от (и, следовательно, от ). На

основании рис. 7.1-1 легко видеть, что спектральная плотность функции имеет вид

Зная величину можно записать так:

Вычисление интеграла (7.2-21) позволяет получить как функцию .

После этого должно быть выбрано так, чтобы удовлетворялось неравенство (7.3-1). Практически выбор обычно производится графическим путем, так как уравнение (7.3-1) не может быть решено точно относительно После определения функция полностью определена и можно вычислить минимальное значение среднего квадрата ошибки согласно формулам (4.4-4) или (4.4-12).

Выше было показано, как добиться минимума среднего квадрата ошибки для систем с частично заданной структурой и при ограничении с.к.з. насыщенного сигнала. Был рассмотрен случай только с одним элементом насыщения. Распространение метода на большее число элементов с насыщением очевидно. Практически решение этой задачи для случая нескольких элементов с насыщением становится громоздким, так как для удовлетворения ограничениям требуется определить несколько множителей Лагранжа, что почти всегда нужно делать графически.