§ 6.2. Минимально-фазовые и неминимально-фазовые системы

Линейные системы разделяются на два класса и соответственно называются минимально-фазовыми и неминимально-фазовыми.

Минимально-фазовой называется система, которая имеет наименьший возможный сдвиг фазы при любой действительной частоте для данной амплитудной характеристики. Неминимальнофазовой называется система, имеющая при данной частоте больший отрицательный сдвиг фазы по сравнению с минимально-фазовой системой. Между амплитудной и фазовой характеристиками минимально-фазовых систем существует тесная взаимосвязь, которая непосредственно следует из определения преобразования Фурье передаточной функции. Эта взаимосвязь была получена ранее другими авторами (см. [30] и [5]). Некоторые из основных результатов этих авторов приводятся в приложении VI.

Рис. 6.2-1. Полюсы и нули G(s) в примере.

Для иллюстрации понятия неминимально-фазовой системы рассмотрим следующую передаточную функцию:

Схема расположения нулей и полюсов этой передаточной функции показана на рис. 6.2-1. Записав эту функцию в виде произведения множителя с минимальной фазой и второго оставшегося множителя, получим

Схема расположения нулей и полюсов минимально-фазового множителя показана на рис. 6.2-2, а и схема расположения нулей и полюсов второго множителя показана на рис. 6.2-2, б. Если теперь рассмотреть, как изменяется фазовая характеристика в зависимости от нулей и полюсов второго множителя по мере возрастания частоты то легко заметить, что второй множитель вызывает дополнительный отрицательный сдвиг по фазе при всех конечных значениях частоты. Очевидно, передаточная функция, содержащая неминимально-фазовый множитель, приводит к большим отрицательным сдвигам фазы по сравнению с передаточной функцией, где этот множитель отсутствует.

Рис. 6.2-2. Полюсы нули множителей функции минимально-фазовые множители; б) произвольные множители.

Это объясняет смысл понятия неминимально-фазовой функции, которое используется для обозначения передаточных функций, имеющих нули в правой полуплоскости.

Последующее рассмотрение сделает более ясным значения терминов минимально-фазовый и неминимально-фазовый в их применении к понятию передаточной функции. Особенность неминимально-фазовой системы состоит в том, что не существует однозначной связи между фазовой и амплитудной частотными характеристиками, и, следовательно, передаточная функция заданной части системы накладывает определенные ограничения на характеристики всей системы. В следующем параграфе рассматриваются эти ограничения.