§ 9.5. Ошибка от порывов ветра в системе с дополнительными ограничениями

После включения функции спектральной плотности момента ветра в условия задачи можно поставить вопрос об определении корректирующего звена, обеспечивающего минимум средней квадратичной ошибки в системе регулирования. Так как ни одна из формул предыдущих глав неприменима в этом случае, необходимо вывести новые формулы. Из рассмотрения новой формулы для корректирующего звена будет видно, что среднеквадратичную ошибку от момента ветра можно сделать сколь угодно малой при условии, что заданные элементы системы минимально-фазовые. В § 9.6 этот теоретический результат будет подвергнут некоторым изменениям из-за практических ограничений, связанных с упругостью и инерцией комплекса антенны.

Задачу об определении корректирующего звена можно поставить следующим образом. Имеется ииформация о входном сигнале, желаемом сигнале на выходе, помехе и заданных элементах системы регулирования. Необходимо определить передаточную функцию корректирующего звена, обеспечивающего минимум среднего квадрата ошибки между желаемым и действительным сигналами на выходе системы. Общее решение этой задачи дается в следующих параграфах.

Общий подход к задаче о возмущениях рассматривался в § 1.7. Там было показано, что возмущение, приложенное внутри контура, можно привести ко входу или выходу системы регулирования и уже затем складывать с входным, желаемым или действительным выходным сигналами. Этот прием позволяет свести задачу с возмущениями к задаче без возмущений. Подобный подход будет использован здесь, но тождественность сигнала возмущения будет не всегда сохраняться. На рис. 9.5-1 показаны схемы системы с одним возмущением. Исходя из схемы а), на которой возмущение приложено ко входу заданной части системы, перейдем к схеме б), где возмущение приложено ко входу и выходу системы. После этого систему с, обратной связью можно заменить эквивалентной схемой последовательного соединения в). На основе схемы в) можно получить основное соотношение между изображениями выходного сигнала входного сигнала и возмущения

Здесь связано с изображением возмущения формулой

Использование функций или вместо действительного возмущения упрощает последующие преобразования.

Расчет в области времени дает выражение среднего квадрата ошибки, из которого обычными методами вариационного исчисления можно получить интегральное уравнение для весовой функции корректирующего звена. Приемы для этого совершенно аналогичны применяемым в § 6.1.

Рис. 9.5-1. Схема системы регулирования с одним возмущением: а) возмущение приложено на входе заданных элементов; б) возмущение приложено вне петли обратной связи; в) эквивалентная схема.

Следовательно, промежуточные выкладки, связанные с получением интегрального уравнения, можно опустить. Из (9.5-1) видно, что сигнал на выходе системы можно представить в виде

Здесь введено условное обозначение интеграла свертки. Звездочка обозначает следующее:

Другими словами, звездочка, стоящая за весовой функцией, всегда означает, что производится интегрирование от до произведения весовой функции и функции, стоящей за звездочкой, по аргументу весовой функции. Это обозначение существенно упрощает вид последующих формул.

Вспоминая, что ошибка равна, по определению, разности между желаемым и фактическим сигналами на выходе, можно перейти от формулы (9.5-3) к выражению среднего квадрата ошибки в зависимости от корреляционных функций соответствующих сигналов:

Отсюда можно получить интегральное уравнение для весовой функции корректирующего звена, обеспечивающего минимум среднего квадрата ошибки. Для этого необходимо заменить в {9.5-5) функцией где — весовая функция корректирующего звена, обеспечивающего минимум среднего квадрата ошибки, и — произвольная весовая функция, удовлетворяющая условию физической осуществимости. Затем необходимо средний квадрат ошибки, зависящий от как от параметра, продифференцировать по и приравнять нулю при Тогда получим искомое

интегральное уравнение

Если изображения Фурье корреляционных функций являются дробно-рациональными функциями комплексной переменной, то можно использовать решение, полученное в § 5.4. Для удобства приводим здесь эту формулу

Для рассматриваемой задачи имеем

и

После подстановки этих формул в (5.4-28) получаем выражение передаточной функции последовательного корректирующего звена системы регулирования, обеспечивающего минимум среднего квадрата ошибки. При этом на систему воздействуют одновременно входной сигнал и возмущение.

Применим теперь общий результат настоящего параграфа к задаче радиотелескопа. В данном случае, согласно условиям, входной и желаемый сигналы пренебрежимо малы и задача сводится к уменьшению ошибки, вызванной возмущениями от ветра. Кроме того, из (9.3-3) следует, что заданные звенья радиотелескопа являются минимально-фазовыми и передаточная функция обратной связи равна единице. Таким образом, (9.5-7) имеет вид

и (9.5-8) определяется формулой

После подстановки (9.5-9) и (9.5-10) в (5.4-28) получаем выражение передаточной функции корректирующего звена:

Иначе говоря, передаточная функция корректирующего звена, обеспечивающего минимум среднего квадрата ошибки при условии, что действует лишь одно возмущение, является величиной, обратной передаточной функции заданных звеньев.

Если в приводе радиотелескопа реализовать передаточную функцию (9.5-11), то средний квадрат ошибки должен быть равен нулю. Это сразу следует после подстановки (9.5-11) в (9.5-1), если вспомнить, что Читатель, не сведущий в задачах расчета систем с обратной связью, может подумать, что найдено вполне удовлетворительное решение для корректирующего звена. Однако мы только показали, что в рамках линейной теории можно, по крайней мере теоретически, сделать ошибку меньше любой наперед заданной величины при условии, что имеется всего одно возмущающее воздействие и заданные элементы — линейные, минимально-фазовые. Практически же попытка реализовать передаточную функцию (9.5-11) корректирующего звена может привести только к неудаче.

Рассмотрим более детально формулу (9.5-11). Напомним, что передаточная функция замкнутого контура системы регулирования связана с передаточной функцией эквивалентного последовательного звена формулой (1.7-4), которая для удобства приводится еще раз:

Предположим теперь, что в качестве приближения передаточной функции эквивалентного последовательного звена выбрана функция

В пределе, когда а стремится к нулю, эта функция переходит в (9.5-11). Если обратиться к рис. 9.3-3, то можно видеть, что передаточная функция заданной части системы имеет вид

где — полином третьей степени от Свободный член этого полинома равен единице. После подстановки (9.5-12) и (9.5-13) в (1.7-4) получаем

Таким образом, передаточная функция корректирующего звена в петле обратной связи является полиномом от деленным на постоянную а. Тогда желаемый результат достигается при а, стремящемся к нулю. В пределе, когда коэффициент усиления обращается в бесконечность; при этом необходимо сохранить требование пропорционального регулирования по первой производной, а также по производным более высоких порядков. Разумеется, такую коррекцию невозможно осуществить практически, несмотря на то, что весовая функция удовлетворяет условию физической осуществимости. В качестве приближения для (9.5-14) можно выбрать функцию

Степень полинома должна быть равна степени Такую коррекцию можно осуществить при помощи опережающего звена высокого порядка. Выбирая коэффициенты полинома на один или несколько порядков меньшими, чем соответствующие коэффициенты полинома можно добиться желаемой коррекции при достаточно малой величине а.

Рассмотрим теперь передаточную функцию всей системы, если передаточная функция корректирующего звена определяется формулой (9.5-15). Она имеет вид

При подстановке численных значений коэффициентов полиномов в (9.5-16) обнаруживается, что для обеспечения устойчивости всей системы, на порядок малости величины а должно быть наложено жесткое ограничение. Это ограничение оказывается наименее жестким, когда . В этом случае нули передаточной функции корректирующего звена совпадают с полюсами заданной части системы. Практически совпадения добиться трудно в такой системе, как радиотелескоп. В системе с механическим резонансом и плохим демпфированием незначительное изменение демпфирования в сервомоторе может существенно изменить расположение нулей и полюсов. Если полюсы и нули не совпадают, то порядок знаменателя возрастает, что приводит к более строгим ограничениям на величину малости а (или на порядок величины коэффициента усиления).

Из дальнейшего рассмотрения можно сделать вывод, что формула (9.5-11) практически весьма невыгодна. Поэтому в следующем параграфе целесообразно рассмотреть ограничения на передаточную функцию корректирующего звена из условия ее более простой реализации.