§ 9.6. Ошибка от порывов ветра при ограничении полосы пропускания

В этом параграфе при минимизации среднего квадрата ошибки, за счет выбора коррекции будет наложено ограничение на ширину полосы пропускания всей системы регулирования. Такое ограничение вводится для того, чтобы избежать практически непригодных результатов, которые были получены в предыдущем параграфе. Ограничения накладываются именно на ширину полосы пропускания, так как мы хотим, чтобы верхний предел рабочих частот был меньше самой низкой резонансной частоты механической системы. Это соображение обосновано огромными практическими трудностями, которые возникают при попытке сделать полосу пропускания привода равной или больше наименьшей резонансной частоты механической системы, являющейся нагрузкой.

В этой главе методика определения ширины полосы совпадает с методикой, данной в главе 8. В § 8.2 полоса определялась, исходя из реакции системы регулирования на произвольный случайный сигнал. Полоса системы регулирования определяется установкой полосы стандартной системы из условия равенства средних квадратов сигналов на выходах двух систем. На рис. 8.2-1 показана схема определения полосы системы регулирования. Введение стандартной системы позволяет классифицировать реакцию системы регулирования на произвольный случайный сигнал в терминах ширины полосы пропускания. Стандартная система и источник шума выбираются так, чтобы ширина полосы монотонно возрастала с увеличением среднего квадрата сигнала на выходе системы регулирования. Как было показано в главе 8, дополнительный фильтр с весовой функцией через который пропускаются выходные сигналы стандартной системы и системы регулирования, обеспечивает регулирование скорости в окрестности частоты среза. Согласно рис. 8.2-1, средний квадрат сигнала на выходе системы регулирования, измеренный после фильтра, равен

Здесь — корреляционная функция сигнала генератора шума, используемого для определения ширины полосы. Это уравнение совпадает с (8.4-5), за исключением пределов интегрирования, которые в (9.6-1) взяты от до . В (9.6-1) весовая функция всей системы (в (8.4-5) эта функция обозначена через также выражена интегралом свертки функции корректирующего звена и весовой функции заданных элементов системы. Согласно методике определения полосы пропускания, ограничение ширины полосы равносильно ограничению среднего квадрата сигнала на выходе фильтра

системы регулирования. Средний квадрат ошибки (9.5-5) и средний квадрат выходного сигнала фильтра системы регулирования при принятой методике определения полосы являются функционалами, зависящими от весовой функции корректирующих элементов системы. Следовательно, применяя метод множителей Лагранжа, можно ввести ограничение полосы, минимизируя функционал

вместо среднего квадрата ошибки. При минимизации этого функционала обычными методами вариационного исчисления мы получим новое интегральное уравнение для функции при добавлении к уравнению (9.5-6) члена

Добавление этого члена к интегральному уравнению означает, что функция содержащаяся в точном решении (5.4-28), заменяется функцией (9.5-8)

Функция содержащаяся в точном решении, заменяется функцией (9.5-7). Это завершает общие рассуждения об определении весовой функции корректирующего звена при ограничении полосы пропускания.

Применим теперь полученный результат к расчету азимутального привода радиотелескопа. Общий результат несколько упростится за счет того, что для радиотелескопа входной и желаемый сигналы равны нулю. Так как заданные элементы системы являются минимально-фазовыми, то, согласно § 6.3, передаточная функция корректирующего звена определяется как отношение передаточной функции всей системы к передаточной функции заданных элементов. Передаточная функция всей системы получается, если в функциях положить Таким образом, для радиотелескопа получаем

Вследствие ограничения полосы при определении привода радиотелескопа необходимо ввести три дополнительных условия. Во-первых, задать спектральную плотность источника шума, необходимого для определения полосы. Примем, что шум является белым со спектральной плотностью

Далее, чтобы наклон характеристики системы регулирования имел в окрестности частоты среза по меньшей мере 20 децилог на декаду, выберем передаточную функцию фильтра в виде

Наконец, примем передаточную функцию стандартной системы, необходимой для определения полосы, в виде

Как было показано в главе 8, вид передаточной функции стандартной системы не имеет существенного значения, если наклон амплитудной характеристики в окрестности частоты среза удовлетворяет условиям, накладываемым входным сигналом, и при определении ширины полосы используется фильтр.

Определим спектральную плотность Согласно (9.5-2), имеем

Из подписи к рис. 9.3-3 видим, что

Спектральная плотность момента ветра определяется формулой (9.4-9). После подстановки определяемой (9.6-10), а также (9.6-11), (9.6-12) и (9.4-9), в формулу для общего решения мы убеждаемся, что необходимые вычисления достаточно громоздки. Вычисления усложняются в основном из-за функций Рассмотрим возможность сокращения вычислений за счет упрощения этих передаточных функций. Для этого рассмотрим функцию спектральной плотности момента ветра. Согласно рис. функция спектральной плотности при частоте 5 рад/сек составляет примерно от значения этой функции при нулевой частоте или, принимая во внимание обе части кривой для положительных и отрицательных значений частот, сумма значений функций для составит от значения ее при нулевой частоте. Нетрудно также заметить, что между значениями сосредоточено всей мощности, определяемой функцией спектральной плотности. После подстановки

численных значений коэффициентов в функции получаем

Так как вне диапазона частот имеется очень небольшая часть мощности, связанная с возмущениями, то соответствующие члены в можно опустить. Так, член с оказывает незначительное влияние по сравнению с членом для частот, больших по модулю 5 рад/сек. Учитывая это замечание, всеми членами в скобках в (9.6-14) можно пренебречь, за исключением единицы. Конечно, полюс в начале координат функции оказывает весьма существенное влияние при низких частотах, и его необходимо оставить. Согласно сделанным выше замечаниям, можно аппроксимировать функцией

где

Передаточную функцию можно аппроксимировать функцией

Математическую модель привода по азимуту, полученную на основе этих аппроксимаций, мы будем называть моделью 1 в отличие от другой модели, рассмотренной в следующем параграфе.

Используя модель 1, мы находим, что можно аппроксимировать сравнительно простой функцией вида

Использованной здесь аппроксимации для вычисления спектральной плотности физически соответствует пренебрежение инерционными членами в фиксированных элементах и Это пренебрежение законно ввиду низких частот возмущений момента ветра. При таких низких частотах уменьшение среднего квадрата ошибки на выходе осуществляется в основном за счет коэффициента усиления замкнутой системы, а не за счет подавления возмущения заданными элементами. Фактически, если система регулирования разомкнута, то потери в сервомоторе привели бы к бесконечно большой величине среднего

квадрата ошибки от момента ветра. Это определяется полюсом в начале координат передаточной функции заданных элементов.

Теперь можно определить передаточную функцию всей системы, обеспечивающую минимум среднего квадрата ошибки, при ограничении полосы. Подставляя функцию (9.6-18) в формулу для общего решения, а также (9.6-8) и (9-6-7), находим, что имеет сравнительно простой вид

В этой формуле коэффициент равен корню квадратному из множителя Лагранжа Однако вычисления упрощаются, если считать новым множителем Лагранжа и определять другие коэффициенты в зависимости от При этих условиях получаем

Эти три уравнения показывают, как параметры передаточной функции всей системы зависят от условий задачи привода по азимуту.

Следующий шаг заключается в том, чтобы выразнгь ширину полосы как функцию параметра Напомним, что средний квадрат сигнала на выходе фильтра системы регулирования, согласно методике определения ширины полосы, равен

После подстановки сюда передаточной функции системы получаем

Сигнал на выходе фильтра стандартной системы получается, если подставить в (9.6-23) передаточную функцию стандартной системы вместо передаточной функции системы регулирования. После вычислений определяем, что средний квадрат сигнала на выходе фильтра стандартной системы равен

Приравнивая между собой (9.6-24) и (9.6-25), получаем следующее выражение для полосы пропускания системы регулирования:

Эта формула определяет желаемое соотношение между коэффициентом а, и шириной полосы так как другие коэффициенты в (9.6-26) выражаются через согласно формулам (9.6-20), (9.6-21) и (9.6-22).

Далее необходимо найти соотношение между средним квадратом ошибки для всей системы и параметром Из (9.5-1) легко видеть, что для случая, когда входной и желаемый сигналы равны нулю, спектральная плотность ошибки

Здесь через обозначено произведение . В этой формуле ошибка представляет собой разность выходного и входного сигналов. Средний квадрат ошибки получается при интегрировании функции спектральной плотности

Подставляя из (9.6-19) и функцию спектральной плотности (9.6-18) в (9.6-27) и затем результат в (9.6-28), получаем выражение для среднего квадрата ошибки

Полиномы с имеют вид

и

В зависимости от коэффициентов этих полиномов средний квадрат ошибки можно вычислить, пользуясь таблицей интегралов в приложении V. Вычисления упрощаются, если задать численные значения коэффициентов полиномов для ряда значений При этом средний квадрат ошибки можно определить как функцию а.

Последний шаг определения ошибки от порывов ветра при ограничении полосы пропускания состоит в построении кривой средней квадратичной ошибки, обусловленной порывами ветра, в функции ширины полосы системы. Согласно (9.6-26), ширину полосы можно вычислить как функцию параметра Формулы (9.6-29) - (9.6-31)

позволяют получить величину среднего квадрата ошибки как функцию а. Используя эти две функции, можно построить график среднего квадратичного значения ошибки в зависимости от ширины полосы. Эти вычисления были сделаны, и соответствующий график показан на рис. 9.6-1. Верхняя кривая на графике соответствует модели I для аппроксимаций, использованных в этом параграфе. Нижняя кривая соответствует другим аппроксимациям функций рассмотренным в следующем параграфе.

Рис. 9.6-1. Теоретическая ошибка от порывов ветра в функции ширины полосы.

Как уже указывалось вначале параграфа, в наши намерения не входило использование выражения (9.6-19) для расчета корректирующего звена в реальной системе регулирования. Функция (9.6-19) использовалась лишь для получения соотношения между шириной полосы и минимально возможным значением ошибки, связанной с возмущениями от ветра. Так как были использованы приближения функций то графики рис. 9.6-1 могут служить для оценки зависимости лишь в первом приближении и для низких частот. В следующем параграфе будет использована эта зависимость при расчете азимутального привода радиотелескопа методом последовательных приближений.