ГЛАВА 2. КИНЕМАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

§ 1. Механические системы и классификация связей

Механические системы

Механической системой называется совокупность конечного или бесконечного числа материальных точек, движение каждой из которых связано с движением остальных точек системы. Если материальным точкам, составляющим систему, ничто не препятствует занимать произвольные положения в пространстве или иметь произвольные скорости, то система материальных точек называется свободной.

Примером свободной механической системы может служить солнечная система. Действительно, все тела, составляющие ее, малы по сравнению с расстояниями между ними, поэтому они могут быть приняты за точки. Движение каждой точки солнечной системы связано с движением остальных точек. Следовательно, солнечная система представляет собой механическую систему. Далее в солнечной системе нет преград, которые препятствовали бы занимать телам ее произвольные положения в пространстве и иметь произвольные скорости. Таким образом, солнечная система представляет собой свободную механическую систему.

В большинстве случаев точки, составляющие механические системы, не могут занимать в данный момент произвольные положения в пространстве и иметь произвольные скорости, в этом случае механическая система называется несвободной.

Абсолютно твердое тело представляет собой пример несвободной механической системы, состоящей из бесконечного числа материальных точек. Действительно, в каждый данный момент точки этой системы могут располагаться только так, чтобы расстояние между ними оставалось неизменным.

Характеристика связей. Голономные системы

Условия, накладывающие ограничения на положение или движение системы в пространстве, называются связями.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением таких связей, которые только накладывают ограничения, не позволяющие точкам системы в данный момент занимать произвольное положение в пространстве. Эти ограничения носят название геометрических или конечных связей.

Если связи, накладывающие ограничения на положение материальных точек, неизменны с течением времени, то они называются стационарными, или склерономными.

Связи, накладывающие ограничения на положение материальных точек, изменяющиеся с течением времени, называются нестационарными или реономными.

В дальнейшем будем полагать, что механическая система при своем движении не может освободиться от связи. В этом случае говорят, что связь неосвобождающаяся.

Абсолютно твердое тело является примером механической системы с геометрическими стационарными неосвобождающимися связями, которые осуществляются условием неизменности расстояния между двумя произвольными точками тела.

Примером геометрической, нестационарной, неосвобождающей связи может служить поверхность, деформирующаяся с течением времени, по которой движутся, не покидая ее, материальные точки или какое-либо материальное тело.

Механические системы, на которые наложены геометрические связи, называются голономными системами.

Уравнения геометрических связей

Остановимся на математической записи связей, классификация которых дана выше. Пусть механическая система состоит из материальных точек. Положение такой системы в пространстве определяется координатами точек системы, которые обозначим или радиусами-векторами, которые обозначим

Геометрическая неосвобождающая связь накладывает ограничения на координаты точек системы. Следовательно, между этими координатами существуют соотношения вида:

которые носят название уравнений связей. Число соотношений (2.1), равное а, определяет число связей, наложенных на систему. Так как при движении системы координаты точек системы меняются с течением времени, то будут функциями времени. Отсюда и будут неявными функциями времени. Однако время t может и явно входить в уравнение связи. Последнее означает, что вид уравнения (2.1) или связь меняется с течением времени. По данному определению такая связь называется нестационарной.

Следовательно, равенства (2.1) представляют собой уравнения стационарных геометрических связей, а соотношения вида

являются уравнениями геометрических нестационарных связей.

Соотношения (2.1) и (2.2) представляют собой уравнения неосвобождающих связей, так как они должны удовлетворяться в любые моменты времени. Заметим, что уравнения связей могут быть записаны не только в скалярной [соотношения (2.1) и (2.2)], но и в векторной форме:

где радиусы-векторы, определяющие положение точек системы.

Иллюстрируем изложенное выше примером.

Пусть механическая система состоит из одной точки, положение которой в пространстве определяется координатами На точку наложена геометрическая, стационарная, неосвобождающая связь в виде плоскости. Это значит, что координаты точки х, у, z удовлетворяют уравнению плоскости:

где — некоторые постоянные.

Последнее соотношение представляет собой уравнение связи типа (2.1).

Число связей а всегда должно быть меньше если рассматривается движущаяся система. Действительно, если то из уравнений связи можно определить координат точек системы, а это будет означать, что система неподвижна. Если то это означает, что соотношений связи будут следствием остальных уравнений и система неподвижна. Следовательно, изучая движение механических систем, всегда имеем: