§ 4. Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы

Уравнения движения

Рассмотрим малые колебания системы с двумя степенями свободы, на которую действуют силы потенциального поля и силы, периодически меняющиеся по времени. Возникающие при этом движения системы носят название вынужденных колебаний.

Пусть возмущающие обобщенные силы меняются по гармоническому закону от времени, имея равные периоды и начальную фазу. Тогда уравнения движения рассматриваемой системы будут вида:

Уравнения движения в рассматриваемом случае представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью.

Переход к главным координатам

Для удобства исследования уравнений движения перейдем в них к главным координатам системы Связь между координатами определяется формулами предыдущего параграфа вида:

Обозначим через соответственно обобщенные силы, соответствующие нормальным координатам Так как обобщенные силы представляют собой коэффициенты при соответствующих вариациях обобщенных координат в выражении элементарной работы действующих на систему сил, то

Но

и

Следовательно:

Откуда

Таким образом, уравнения движения в главных координатах приобретают вид:

где

Уравнения вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы в нормальных координатах независимы друг от друга и могут интегрироваться отдельно.

Критические частоты возмущающей силы

Уравнение для или определяет колебательный характер изменения нормальных координат, подробно изученный при рассмотрении вынужденного колебания точки по прямой, так как дифференциальные уравнения движения в обоих случаях одинаковы. В частности, если частота возмущающей силы равна частоте одного из собственных колебаний системы или то в решение в качестве множителя войдет время t. Следовательно, одна из нормальных обобщенных координат при достаточно большом t будет сколь угодно велика, или мы имеем явление резонанса.

Значения частот возмущающей силы, равной одной из частот или собственных колебаний системы, носят название критических частот возмущающей силы.

Настоящий параграф может служить примером плодотворности введения нормальных координат, благодаря которым уравнения движения приобретают простой вид, весьма удобный для исследования характера движения системы.