ГЛАВА 21. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
§ 1. Постановка задачи. Уравнения движения системы
Цель настоящей главы
В настоящей главе поставим своей целью получить уравнения движения системы в строгом смысле этого слова, т. е. уравнения, в которые в качестве неизвестных входят только характеристики движения или отсутствуют реакции связей. Вторая задача, которая ставится в настоящей главе, заключается в том, что в уравнения движения вводятся энергии, понятие которых было дано ранее. Энергии, представляющие собой скалярные функции, позволяют описать все механические свойства движения системы. Таким образом, настоящая глава представляет собой развитие энергетического метода изучения механических движений систем.
Постановка задачи
Пусть на заданную систему, состоящую из 
материальных точек, наложено а геометрических связей. Используя уравнения связей, выберем обобщенные координаты системы, как об этом подробно говорилось в кинематике (см. главу 2, § 3).
Обозначим обобщенные координаты через 
, где 
— число степеней свободы системы, равное 
. Радиусы-векторы точек системы 
в случае нестационарных связей, через обобщенные координаты запишутся в виде:
Обозначим через 
массы и через 
активнвш силы, действующие на точки системы 
Тогда уравнения движения точек системы на основе второго закона Ньютона запишутся в виде:
где 
— реакции связей.
Кроме того, при решении задачи о движении связных систем необходимо дополнительное условие идеальности связей
где вариации радиусов-векторов 
зависимы в силу наложенных на систему связей.
Уравнения движения
Заменим 
через вариации независимых обобщенных координат. Для этого, пользуясь соотношениями (21.1), запишем:
Подставляя (21.4) в равенство (21.3), найдем:
Далее, определим реакции связей 
из уравнения (21.2) и подставим их в уравнение (21.5), тогда получим соотношение:
в котором отсутствуют реакции связей. Изменим в соотношении (21.6) порядок суммирования и запишем его в виде:
Так как 
в полученном равенстве независимы и могут быть выбраны произвольно, то для выполнения равенства (21.6) необходимо, чтобы все коэффициенты при вариациях 
обратились в нуль. Следовательно, из (21.6) имеем 
равенств вида:
или
Равенства (21.7) представляют собой искомые уравнения движения системы, в которых отсутствуют реакции связей. Дальнейшие исследования посвящены преобразованию уравнений
