§ 4. Система параллельных сил

Приведение двух собственно параллельных сил

Пусть на абсолютное твердое тело действуют две силы, линии действия которых параллельны и силы направлены в одну сторону. Такие силы носят название собственно параллельных. Предположим, что в точках А и В к твердому телу приложены собственно параллельные силы (рис. 84). Для отыскания их равнодействующей воспользуемся следующим приемом. Добавим к этим силам уравновешенную систему сил и приложенных в точках А и В,

равных друг другу по величине и направленных вдоль АВ в противоположные стороны.

Очевидно, полученная система из четырех сил будет эквивалентна первоначальной. Заменив по правилу параллелограмма силы равнодействующей а силы их равнодействующей снова получим систему из двух сил, но уже не параллельных, а сходящихся в точке О. Перенесем силы вдоль линии их действия в точку О и разложим каждую из них на составляющие, параллельные линиям действия сил и Систему сил можно отбросить, как уравновешенную, а оставшиеся, силы равные по величине исходным силам и параллельные им, можно сложить. Величина их равнодействующей будет равна арифметической сумме величин а линия действия этой равнодействующей будет параллельна линиям действия исходных сил.

Рис. 81

Таким образом,

Положение линии действия равнодействующей определяется точкой С пересечения ее с отрезком Так как треугольник подобен силовому треугольнику то

Из подобия треугольников имеем

и так как то из полученных пропорций находим:

Таким образом, окончательно имеем: две собственно параллельные силы приводятся к равнодействующей, направленной параллельно составляющим силам и равной их арифметической сумме. Линия действия равнодействующей делит внутренним образом отрезок, соединяющий точки приложения составляющих сил на части, обратно пропорциональные величинам этих сил. Если точки

приложения сил задать радиусами-векторами (рис. 85), то радиус-вектор точки С найдется из равенства

и

Рис. 85

Приведение собственно параллельных сил

Пусть на абсолютно твердое тело действуют три собственно параллельные силы приложенные в точках, определяемых радиусами-вектора . Складывая сначала силы получим их равнгдействующую

проходящую через точку с радиусом-вектором вычисляемым по найденной формуле. Далее, складывая силы получим равнодействующую

Радиус-вектор определяющий линию действия, найдется из выражения

Подставив сюда значения получим окончательно

Аналогично можно показать, что если к телу приложено собственно параллельных сил то они имеют равнодействующую равную

Линия действия этой равнодействующей параллельна линиям действия приложенных сил и проходит через точку, радиус-вектор которой равен:

Эта точка называется центром параллельных сил. Проектируя векторы последнего равенства на оси прямоугольной системы координат, получим, что координаты центра параллельных сил будут определяться по формулам

где — координаты точки приложения силы.

Важно заметить, что если все параллельные силы повернуть вокруг их точек приложения на один и тот же угол, то линия действия равнодействующей повернется на тот же угол и координаты центра параллельных сил не изменятся, что непосредственно следует из последних формул, в которые входят только модули параллельных сил.

Приведение двух антипараллельных сил

Предположим, что на твердое тело действуют две силы, линии действия которых параллельны, а направления противоположны. Такие силы называются антипараллельными Пусть эти силы приложены в точках А и В и не равны по модулю. Положим для определенности, что (рис. 86). Силу можно рассматривать как равнодействующую двух каких-нибудь, собственно, параллельных сил, имеющих линии действия, параллельные линии действия Величина и точка приложения одной из таких сил вполне произвольны, поэтому можно потребовать, чтобы эта сила равнялась — и была приложена в точке В. Тогда вторая сила R будет вполне определена. По величине она будет равна

и направлена в сторону большей силы, т. е. в сторону силы Положение ее линии действия определится точкой С, лежащей на прямой причем

Рис. 86

Подставив сюда вместо величины R ее значение из предыдущего равенства, получим

Отсюда

или

В результате система двух антипараллельных сил оказалась замененной эквивалентной ей системой из сил Но силы взаимно уравновешиваются и их можно отбросить. Следовательно, антипараллельные силы приложенные в точках А и В, имеют равнодействующую, параллельную этим силам, равную по величине их разности и направленную в сторону большей из них. Линия действия равнодействующей делит отрезок А В внешним образом на части, обратно пропорциональные силам

Пара сил

Система двух антипараллельных равных по модулю сил называется парой сил или просто парой (рис. 87). Кратчайшее расстояние между линиями действия, составляющими пару, называется плечом пары и обозначается буквой (рис. 87).

Докажем, что пара сил не имеет равнодействующей. Доказательство проведем от противного. Предположим, что пара сил имеет равнодействующую отличную от нуля. Рассмотрим две антипараллельные силы при этом пусть (рис. 88).

Рис. 87

Рис. 88

Будем теперь стремить тогда эти силы будут стремиться к паре, а их равнодействующая должна стремиться к равнодействующей пары, т. е. к силе Но на основании предыдущих рассуждений линия действия равнодействующей находится в бесконечности, а величина ее равна пулю. Следовательно, равнодействующая сил не стремится к силе отличной от нуля, что противоречит первоначальному предположению. Пара, как и сила, является основным элементом в механике.

Приведение произвольной системы параллельных сил

Пусть на тело действует система параллельных сил. Эту систему всегда можно разбить на две группы, каждая из которых образована силами, действующими в одном направлении. Тогда каждую группу можно свести к одной равнодействующей. В результате система приводится или к двум не равным антипараллельным силам, которые сводятся к равнодействующей или к паре сил, или, если равнодействующие каждой группы равны и расположены на одной прямой, то они взаимно уравновешиваются и система параллельных сил находится в равновесии.