§ 2. Принцип Даламбера. Основные уравнения диижения системы

Принцип Даламбера для точки

Даламбер показал, что решение задач динамики можно свести к решению задач статики. Этот метод получил название принципа Даламбера. Перейдем к его изложению. Рассмотрим точку массы

к которой приложены силы, равнодействующая которых равна Движение этой точки описывается вторым законом Ньютона вида:

который можно записать также в виде равенства

Поставим теперь перед собой задачу: найти такую силу Ф, которую надо добавить к силе чтобы эти силы, действуя на точку, были уравновешены. Очевидно, искомая сила должна удовлетворять равенству:

Отсюда

или, подставляя значение имеем:

Таким образом, найдена сила Ф, которую нужно приложить к точке, чтобы система сил и Ф была уравновешена. Сила называется силой инерции.

Равенство составляет содержание принципа Даламбера, который гласит: при движении точки действующие на нее сила и сила инерции удовлетворяют уравнению равновесия сил.

Важно подчеркнуть, что в задаче о движении точки член представляет собой не силу, а эффект от ее действия, в то время как в задаче об уравновешенности сил, действующих на точку, член представляет собой силу, которую надо приложить к точке, чтобы уравновесить силу F. Это, отличие, однако, не находит своего отражения в уравнениях. Поэтому, решая задачу об уравновешенности сил и действующих на точку, можно считать, что решается задача о движении той же точки, в которой член рассматривается не как сила, а как произведение массы точки на ее ускорение, взятое с обратным знаком. И обратно, вместо того, чтобы составлять уравнения движения точки, можно составлять уравнения равновесия действующих на точку сил и сил инерции.

Таким образом, формально принцип Даламбера позволяет свести задачу о движении точки к задаче о равновесии действующих на нее сил и сил инерции.

Принцип Даламбера для системы

Пусть система состоит из материальных точек, на каждую из которых действует внешняя сила и внутренняя сила Применяя к каждой точке этой системы принцип Даламбера, будем иметь

где

Эти равенства выражают, как указывалось, необходимые и достаточные условия равновесия сил, приложенных к системе.

Основные уравнения движения системы

Как указывалось в статике, необходимыми соотношениями равновесия сил, действующих на систему, будут равенство нулю главного вектора и главного момента всех внешних сил, действующих на систему. Внешними силами в рассматриваемом случае являются силы Следовательно,

где — радиус-вектор точки системы относительно выбранного полюса.

Переход от этих уравнений равновесия к уравнениям движения осуществляется путем замены сил инерции их выражениями через ускорения. Сделав эту замену, получим уравнения (11.2) и (11.3), в которых исключены внутренние силы. Эти уравнения движения произвольных механических систем только необходимы для описания ее движения. В случае же абсолютно твердого тела эти уравнения выражают как необходимые, так и достаточные условия равновесия сил, как было доказано в статике. Поэтому они достаточны для полного определения движения твердого тела.

Таким образом, из принципа Даламбера следует, что никаких других уравнений, описывающих движение твердого тела, независимых от уравнений (11.2) и (11.3), существовать не может. Следует подчеркнуть, что принцип Даламбера не облегчает процесса интегрирования уравнений динамики и не дает способов получения их первых интегралов, а лишь облегчает составление этих уравнений движения, что весьма существенно при изучении движения системы.

Принцип затвердевания в динамике

Так как уравнения движения, полностью описывающие движение твердого тела (11.2) и (11.3), необходимы и для описания движения любых механических систем, то этот факт составляет содержание динамического принципа затвердевания, аналогично подобному принципу, о котором говорилось в статике. Содержание этого принципа можно сформулировать так: движение произвольной механической системы в каждый данный момент не нарушается, если рассматривать ее как неизменяемую систему (или абсолютно твердое тело).