§ 2. Сложение скоростей

Относительная, переносная и абсолютная скорость точки

Пусть точка М движется по кривой АВ (относительной траектории) (рис. 38), жестко связанной с подвижной системой координат, и за время перемещается из положения А в положение В. Тогда относительной скоростью точки, которую обозначим будет:

За то же время кривая АВ вместе с подвижной системой координат переместится в пространстве (совершив переносное

Рис. 38

движение) и займет положение (рис. 38). За время точка А подвижной среды переместится в положение С. Следовательно, переносной скоростью, которую назовем будет:

За время по отношению к неподвижной системе координат точка переместится на вектор Следовательно, абсолютная скорость точки, которую обозначим запишется:

Теорема сложения скоростей

Векторы, указанные выше, связаны соотношением

Разделив это равннство на и переходя к пределу при стремящемуся к нулю, имеем:

Но по модулю равно (рис. 38) и так как АВ и величины бесконечно малые, то будет величина бесконечно малая первого порядка, которая в пределе обратится в нуль:

Таким образом, окончательно имеем:

Полученное равенство представляет собой теорему сложений скоростей, которая гласит: скорость абсолютного движения равна векторной сумме относительной и переносной скорости.

Сложение движений материальной точки

Теорема сложения скоростей распространяется и на случай, когда абсолютное движение состоит из любого числа движений. Действительно, пусть, например, относительное движение

является результирующим двух движений, со скоростями Тогда по теореме сложения скоростей имеем:

Пусть при этом скорость переносного движения равна тогда

Подобные же рассуждения приводят к тому, что если точка участвует одновременно в движениях, то скорость сложного движения будет равна векторной сумме скоростей составляющих движений:

Заметим, что формально записанное в первой главе выражение скорости через ее проекции

представляет с физической стороны разложение пространственного движения точки на три прямолинейных движения вдоль координатных осей.

Абберационное смещение звезд

В качестве примера применения теоремы сложения скоростей рассмотрим смещение изображений звезд на небесной сфере, возникающее в результате движения Земли вокруг Солнца.

Рис. 39

Рис. 40

Основную систему координат свяжем жестко с плоскостью движения Земли вокруг Солнца. Подвижную систему свяжем с центром Земли и предположим, что она движется поступательно относительно основной системы со скоростью Рассматривая свет как поток прямолинейно движущихся квантов, обозначим скорость их в основной системе через (рис. 39) и угол между через а. Скорость квантов в подвижной системе, связанной с Землей, обозначим через и угол между через а (рис. 39). В силу теоремы сложения скоростей имеем (рис. 40):

Введем углы Р и Р, равные

и спроектируем результирующую и составляющие скорости на направление и перпендикулярное ему. В результате получим:

Откуда

Или так как есть скорость света, которая обозначается через с, то последнюю формулу можно переписать в виде:

где определяет угол, на который смещается видимое изображение звезды на небесной сфере (в результате движения Земли) по отношению к направлению, по которому располагается звезда относительно солнечной системы.

Так как угол мал, то, применяя теорему синусов к треугольнику скоростей, найдем

Максимальное значение этого угла (при ) соответствует 20,47.

Более точный разбор этой задачи в последней части книги.