§ 3. Уравнения малых колебаний механических систем

Уравнение движения системы при консервативных силах, силах сопротивления среды и возмущающих силах

Используя уравнения Лагранжа второго рода, запишем уравнение движения голопомной системы с степенями свободы, на которую действуют силы потенциального поля, силы сопротивления среды, пропорциональные первой степени скорости, и возмущающие силы, меняющиеся по гармоническому закону от времени:

где Т — кинетическая, — потенциальная энергия системы, Ф — функция рассеяния, — постоянные, определяющие возмущающую силу.

Потенциальная энергия системы в случае ее малых движений

Рассмотрим уравнения малых колебаний механических систем около положения устойчивого равновесия.

Предположим, что система находится в состоянии равновесия и выводится из этого состояния посредством малых возмущений. Как указывалось ранее, в случае равновесия системы, силовая функция должна иметь экстремум, т. е. должны выполняться равенства:

Будем считать, что отсчет обобщенных координат производится от положения равновесия и поэтому при равновесии —

Разложим силовую функцию в ряд Тейлора вблизи равновесного положения. Тогда будем иметь:

Первая сумма этого равенства равна нулю, так как в положении равновесия Далее, не нарушая общности, можно положить так как силовая функция определяется с точностью до произвольной постоянной.

Членами выше второго порядка можно пренебречь, так как в силу малости возмущения значения координат в области равновесия системы малы. Следовательно, можно принять:

Полагая

получаем:

где — постоянные коэффициенты, удовлетворяющие условию

Соответственно, потенциальная энергия П будет равна:

Кинетическая энергия системы, в случае ее малых движений

При стационарных связях кинетическая энергия системы равна

где — коэффициенты, зависящие от обобщенных координат, удовлетворяющие условию Раскладывая эти

коэффициенты в ряд Тейлора около равновесного положения системы, получим:

Считая, что обобщенные координаты малы в этом разложении, следует сохранить только первый член. Тогда кинетическая энергия системы будет содержать только члены второго порядка малости. Таким образом, рассматривая малые колебания системы, надо коэффициенты в выражении кинетической энергии считать постоянными величинами.

Функция рассеяния в случае малых движений системы

По той же причине коэффициенты в функции рассеяния

при малых колебаниях следует считать постоянными величинами.

Уравнения малых движений системы

Используя полученные соотношения, имеем:

Таким образом, малые колебания системы под действием консервативных сил, сил сопротивления среды, пропорциональных первой степени скорости, и возмущающих обобщенных сил, меняющихся по гармоническому закону, имеют вид:

Полученная система уравнений, описывающая малые движения механической системы вблизи ее равновесия, представляет собой линейных дифференциальных уравнений второго порядка с

постоянными коэффициентами и правой частью. Заметим, что общие уравнения движения механических систем, приведенные в начале параграфа, нелинейны. Таким образом, ограничиваясь рассмотрением лишь малых колебаний, мы сводим задачу к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и получаем возможность до конца проинтегрировать их.

В результате интегрирования уравнений движения определяются обобщенных координату, как функции времени, и произвольных постоянных. Последние определяются по заданным начальным условиям.

Закон движения точек при малых движениях системы

Уравнения, описывающие малые колебания системы, являются приближенными: они справедливы только при малых отклонениях от положения равновесия. Из вывода этих уравнений видно, что в них были сохранены только члены первого порядка малости. Поэтому все результаты, полученные при изучении таких колебаний, верны лишь с этой степенью точности.

Например, пусть требуется указать законы движения отдельных точек рассматриваемой системы. Радиусы-векторы точек системы являются функциями обобщенных координат

Разложив в ряд Тейлора около положения равновесия, получим:

В соответствии со сказанным в этом разложении надо сохранить только члены первого порядка малости относительно . Сделав это, будем иметь:

Подставляя в эти равенства полученные в результате интегрирования уравнений движения, получим законы движения отдельных точек системы. Если t в этих уравнениях рассматривать как параметр, то они будут представлять собой параметрические уравнения траекторий точек системы.