§ 5. Приближенная теория гироскопа

Об элементарной теории гироскопа

Изучение общего случая движения симметричного гироскопа представляет значительный интерес, так как приложения этого случая играют существенную роль в современной технике. Однако изучение указанного движения на базе уравнений Эйлера достаточно сложно Но если гироскоп быстро вращается вокруг своей оси симметрии, то ряд необычных явлений, называемых гироскопическими, которые на первый взгляд кажутся парадоксальными, можно исследовать, используя только теорему о моменте количества движения. Эти исследования приводят к так называемой элементарной

теории гироскопа, которой широко пользуются в технике. Элементарная теория гироскопа носит самостоятельный характер и не опирается на результаты предыдущих параграфов настоящей главы.

Кинетический момент материально симметричного относительно оси тела, вращающегося вокруг оси симметрии

Рассмотрим однородное тело вращения, которое вращается вокруг своей неподвижной оси симметрии. Выберем на оси вращения произвольную точку О и определим кинетический момент этого тела относительно точки О. Проведем через точку О взаимно перпендикулярные оси х, у, z (рис. 126), так, чтобы ось z совпадала с осью симметрии тела. Тогда будем иметь:

где — проекции угловой скорости на оси координат, — осевые и центробежные моменты инерции тела.

Рис. 126

В силу осевой симметрии тела центробежные моменты инерции равны нулю. Действительно, вычислим сумму

беря попарно точки и симметричные относительно оси z. Так как эти точки обладают равной массой и координата них одинакова, а координаты х и у отличаются лишь знаком, то для этой пары точек будем иметь

То же самое будет для любой другой симметричной пары точек. Поэтому получаем.

Аналогично находим

после чего для будем иметь.

Следовательно, кинетический момент материально симметричного относительно оси тела, вращающегося вокруг оси симметрии, направлен по оси вращения (или по вектору тела и равен произведению момента инерции тела относительно оси симметрии, умноженному на угловую скорость тела.

Гироскоп

Тело, имеющее ось материальной симметрии и обладающее большой угловой скоростью вращения вокруг этой оси, будем называть гироскопом.

Основное допущение элементарной теории гироскопа

Пусть гироскоп совершает сложное движение, вращаясь вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью и вместе с этой осью вращаясь вокруг некоторой неподвижной оси со скоростью причем угловые скорости пересекаются в точке О (рис. 127). В элементарной теории гироскопических явлений величину предполагают очень большой но сравнению с и вектор кинетического момента считают направленным по оси симметрии тела и равным

где — момент инерции тела относительно оси симметрии его.

Рис. 127

На основании предыдущего выводы элементарной теории гироскопических явлений будут тем точнее, чем больше но сравнению с

Основное уравнение элементарной теории гироскопа

Запишем теорему о кинетическом моменте в формулировке Резаля:

где — скорость конца вектора — момент внешних сил относительно точки О. По принятому допущению вектор направлен по вектору (рис. 127) и его перемещение в пространстве представляет собой вращение вокруг неподвижной оси с угловой скоростью Тогда

и так как

то

и, следовательно,

Это соотношение является основным уравнением элементарной теории гироскопа. Оно определяет величину и направление момента внешних сил, необходимого для вращения оси гироскопа с заданной угловой скоростью. Очевидно, на устройство, которое сообщает оси гироскопа это вращение, будет действовать момент, равный

Он носит название гироскопического момента. При больших значениях угловой скорости этот момент очень велик и может вызвать разрушение опор, в которых лежит ось быстро вращающегося тела.

Регулярная прецессия

Пусть гироскоп вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью и одновременно вращается с постоянной угловой скоростью вокруг некоторой неподвижной оси с угловой скоростью причем угол между остается постоянным.

Это случай (как указывалось, глава 15, § 4) называется регулярной прецессией гироскопа, при этом имеет место следующее равенство:

Следовательно, момент вызывающий регулярную прецессию, постоянен и направлен перпендикулярно плоскости, определяемой векторами

Волчок

Пусть гироскоп находится под действием силы тяжести которая приложена в его центре масс. Кроме того, на гироскоп будет действовать реакция опоры в неподвижной точке. Угол между осью гироскопа и вертикалью равен (рис. 128). Если бы гироскоп не имел собственного вращения вокруг оси симметрии, то под действием силы он бы упал. Однако при наличии вращения он падать не будет. Действительно, момент силы относительно точки О будет

перпендикулярен плоскости, определяемой векторами Момент реакции опоры относительно точки О равен нулю. Следовательно, скорость конца вектора кинетического момента будет всегда перпендикулярна векторам и Отсюда следует, что конец вектора описывает окружность постоянного радиуса с центром, расположенным на вертикальной оси. Но так как вектор направлен по оси, определяемой то угол между в процессе движения будет сохранять постоянное значение Таким образом, рассматриваемый гироскоп падать не будет.

Рис. 128

Так как момент внешних сил равен:

где а — расстояние от неподвижной точки до центра тяжести гироскопа, и

то из основного уравнения элементарной теории гироскопа получаем:

Отсюда

Следовательно, (которая называется скоростью прецессии) остается постоянной и будет тем меньше, чем больше скорость собственного вращения .

Таким образом, быстро вращающийся гироскоп обладает устойчивостью по отношению к опрокидывающему моменту силы тяжести. Указанное является одним из важных гироскопических явлений.

Гироскоп в кардановом подвесе (свободный гироскоп)

Гироскопические явления широко используются в технике, особенно в приборостроении. Простейшим гироскопическим устройством, широко применяемым в этих областях, является гироскоп в кардановом подвесе. Он представляет собой тяжелый маховичок А (ротор), подвешенный в двух кольцах В и С, как показано на рис. 129 (карданов подвес). Наружное кольцо С может свободно вращаться в неподвижных

Рис. 129

подшипниках а и b, а внутреннее кольцо В — в подшипниках укрепленных в наружном кольце. Сам маховичок может вращаться в подшипниках ей сделанных во внутреннем кольце. Таким образом, маховичок А может вращаться вокруг трех пересекающихся в точке О осей Если центры масс маховичка и каждого из колец совпадают с точкой О, то гироскоп будет в равновесии при любом расположении его подвижных частей. Такой гироскоп имеет три степени свободы (свободный гироскоп) и он называется уравновешенным или астатическим.

Применение уравновешенного гироскопа для доказательства вращения Земли вокруг оси

Сообщим ротору уравновешенного гироскопа с тремя степенями свободы быстрое вращение вокруг оси Если единственной внешней силой, действующей на гироскоп, будет сила тяжести, то ее момент относительно точки О равен нулю. Следовательно, кинетический момент а значит и ось будет сохранять неизменное положение в пространстве.

Направим оси гироскопа на какую-либо неподвижную звезду. Так как ось сохраняет свое направление в пространстве, то она все время будет направлена на звезду и вместе с ней она совершает суточное движение относительно Земли. Например, если эта звезда будет находиться вблизи восточной части горизонта, то земной наблюдатель увидит, что ось гироскопа поворачивается с востока на запад и одновременно поднимается над горизонтом. Если же ось гироскопа направлена на западную часть неба, то она будет опускаться под горизонт. Это видимое движение оси гироскопа в результате суточного вращения Земли может служить экспериментальным доказательством вращения Земли вокруг своей оси. Заметим, однако, что практическое осуществление этого эксперимента затруднительно.

Об устойчивости оси уравновешенного гироскопа

Пусть уравновешенный гироскоп быстро вращается вокруг своей оси Допустим, что на ось начинает действовать небольшая внешняя сила, которая стремится повернуть эту ось. Эта сила вызовет вращение гироскопа вокруг оси, перпендикулярной к плоскости, определяемой силой и вектором . Пусть угловая скорость этого вращения будет и момент силы относительно неподвижной точки О будет М, тогда на основании основного уравнения элементарной теории гироскопа имеем:

где — момент инерции гироскопа относительно его оси симметрии. Из последнего равенства получим

где угол между Отсюда следует, что угловая скорость поворота оси гироскопа обратно пропорциональна угловой скорости вращения гироскопа. Поэтому, чем быстрее вращается ротор рассматриваемого гироскопа, тем медленнее будет его ось изменять свое направление под действием внешних сил. Заметим, что указанные внешние силы всегда имеют место. Это могут быть силы трения, силы тяжести, возникающие в результате того, что гироскоп не является строго уравновешенным, и т. д. Поэтому небольшие силы, стремящиеся повернуть ось гироскопа, всегда будут иметь место, но если гироскоп вращается очень быстро, то ось его будет отклоняться от первоначального направления очень медленно и в течение долгого времени это направление практически можно считать неизменным.

Указанный гироскопический эффект применяется в космических ракетах для придания им определенной ориентации в пространстве.