7.2. Лифтинговая схема и целочисленная биортогональная фильтрация

Лифтинговая схема, рассмотренная в главе 6, позволяет конструировать биортогональные вейвлеты с компактным носителем. С небольшими изменениями она может быть использована для построения целочисленного нелинейного квазибиортогонального вейвлет-преобразования.

Набор фильтров называется биортогональным, если удовлетворяется следующее условие:

где

и

Аналогично и для

В.Свелденсом доказано следующее утверждение. Пусть имеется набор биортогональных КИХ-фильтров Новый набор можно получить по формулам:

Аналогично, если имеется набор фильтров новый набор можно получить по формулам:

где тригонометрический полином, а соответствующий фильтр является КИХ-фильтром. Выражения можно переписать следующим образом:

Пусть исходный сигнал, - низкочастотная и высокочастотная составляющие его разложения, получаемые с использованием фильтров Тогда алгоритм декомпозиции можно записать в виде

Соответствующий алгоритм реконструкции:

где параметры - положительные константы, такие что Например, для биортогональной декомпозиции для примеров

Если набор фильтров был получен из по формулам (7.23), декомпозиция представима в виде

Соответствующий алгоритм реконструкции записывается в виде

Здесь равенства (7.26) и (7.29) - прямое и обратное биортогональные вейвлет-преобразования. Выражения (7.27) и (7.28) есть дополнительные формулы, обеспечивающие целочисленность преобразования.

Аналогично, если набор фильтров был получен из по формулам (7.23), декомпозиция принимает вид

Соответствующая ей реконструкция:

Возникающая проблема обработки границы изображения была рассмотрена в разделе 6.4.

Предположим, что биортогональные фильтры получены из первоначальных фильтров по формулам (7.21) и (7.22). Пусть декомпозиция первоначальными фильтрами выполнялась целочисленно. Тогда можно доказать, что имеется возможность конструирования целочисленного преобразования фильтрами Данное преобразование будет

«близко» первоначальному. Близость означает, что разница между двумя схемами декомпозиции состоит лишь в наличии некоторой ошибки округления. Эта ошибка устраняется за счет целочисленной схемы реконструкции.

Если являются целыми после (7.26), может быть вычислена вместо (7.27) следующим образом:

Видно, что (7.34) «близко» к (7.27), и точная реконструкция может быть обеспечена применением формулы (7.33) и следующей формулы:

Аналогичным образом целочисленное преобразование выполняется, если набор фильтров получен из первоначального набора

Отметим, что большинство стандартных биортогональных вейвлет-преобразований не может быть выполнено непосредственно в целочисленном виде. Однако за счет соответствующего выбора параметров и некоторого изменения алгоритма получаются различные вариации исходного преобразования. Кроме того, необходимо правильно выбирать параметр для того, чтобы алгоритм выполнялся только посредством сдвигов и сложений.

Отметим также следующее. Если набор фильтров получен из набора посредством лифтинговой схемы, а тот, в свою очередь, из набора то имеется возможность получения целочисленного преобразования, «близкого» к исходному.