8.2. Мультивейвлеты
Так же, как и в случае вейвлетов, масштабирующая функция
является решением масштабирующего уравнения
где
матрица вещественных коэффициентов размером
называемая маской. Свойства масштабирующей функции тесно связаны с поведением этой маски в области преобразования Фурье. Как и в случае вейвлетов, непрерывная масштабирующая функция получается в пределе при бесконечном числе итераций:
Исследованию сходимости этого предела посвящен ряд работ. Основные результаты следующие. Различают безусловную сходимость (для любой частоты
и условную. Доказана теорема о том, что необходимыми условиями безусловной сходимости являются
Кроме того, маска
должна удовлетворять условию Смита-Барнуэлла:
Условная сходимость подробно рассмотрена в работах П. Массопуста и на страницах нашей книги не обсуждается.
От вида маски зависит, будет ли иметь масштабирующая функция симметрию или асимметрию, а также ее аппроксимационные свойства.
Рассмотрим теперь простейший пример линейных мультивейвлетов, а затем перейдем к вопросу применения мультивейвлетов для обработки сигналов.
Пример. Пусть даны две кусочно-линейные функции:
Эти функции изображены на рис. 8.1. Их целочисленные сдвиги
образуют ортонормальный базис замкнутого подпространства
с
состоящего из кусочно-линейных на целочисленных интервалах функций. Далее, пусть
- подпространство, натянутое на функции
и содержащее все функции, которые кусочно-линейны на интервалах
Легко показать, что
Рис.8.1. Кусочно-линейные ортогональные масштабирующие функции
Из этого выражения следует, что
. Аналогично
Ортогональные проекции
некоторой функции
на подпространства
есть не что иное, как последовательные приближения линейными функциями, сходящиеся к
при
Таким образом, мы получаем вложенную структуру подпространств, известную как кратномасштабный анализ (КМА - глава 2):
Однако в нашем случае КМА порождается двумя функциями
Подпространства
используемые здесь, не могут быть порождены сдвигами и растяжениями одной функции.
Рассмотрим еще две кусочно-линейные функции (рис. 8.2):
0, в других случаях, 0, в других случаях
Пусть
есть подпространство
натянутое на базисы
Целочисленные сдвиги
ортогональны друг другу и целочисленным сдвигам
что делает подпространство
ортогональным
. Функции
кусочно-линейны на половине интервала. Поэтому
. В частности,
Рис. 8.2. Кусочно-линейные ортогональные вейвлеты