8.2. Мультивейвлеты

Так же, как и в случае вейвлетов, масштабирующая функция является решением масштабирующего уравнения

где матрица вещественных коэффициентов размером называемая маской. Свойства масштабирующей функции тесно связаны с поведением этой маски в области преобразования Фурье. Как и в случае вейвлетов, непрерывная масштабирующая функция получается в пределе при бесконечном числе итераций:

Исследованию сходимости этого предела посвящен ряд работ. Основные результаты следующие. Различают безусловную сходимость (для любой частоты и условную. Доказана теорема о том, что необходимыми условиями безусловной сходимости являются

Кроме того, маска должна удовлетворять условию Смита-Барнуэлла:

Условная сходимость подробно рассмотрена в работах П. Массопуста и на страницах нашей книги не обсуждается.

От вида маски зависит, будет ли иметь масштабирующая функция симметрию или асимметрию, а также ее аппроксимационные свойства.

Рассмотрим теперь простейший пример линейных мультивейвлетов, а затем перейдем к вопросу применения мультивейвлетов для обработки сигналов.

Пример. Пусть даны две кусочно-линейные функции:

Эти функции изображены на рис. 8.1. Их целочисленные сдвиги образуют ортонормальный базис замкнутого подпространства с состоящего из кусочно-линейных на целочисленных интервалах функций. Далее, пусть - подпространство, натянутое на функции и содержащее все функции, которые кусочно-линейны на интервалах Легко показать, что

Рис.8.1. Кусочно-линейные ортогональные масштабирующие функции

Из этого выражения следует, что . Аналогично Ортогональные проекции некоторой функции на подпространства есть не что иное, как последовательные приближения линейными функциями, сходящиеся к при Таким образом, мы получаем вложенную структуру подпространств, известную как кратномасштабный анализ (КМА - глава 2):

Однако в нашем случае КМА порождается двумя функциями

Подпространства используемые здесь, не могут быть порождены сдвигами и растяжениями одной функции.

Рассмотрим еще две кусочно-линейные функции (рис. 8.2):

0, в других случаях, 0, в других случаях

Пусть есть подпространство натянутое на базисы Целочисленные сдвиги ортогональны друг другу и целочисленным сдвигам что делает подпространство ортогональным . Функции кусочно-линейны на половине интервала. Поэтому . В частности,

Рис. 8.2. Кусочно-линейные ортогональные вейвлеты

Таким образом, базисы пространства есть линейная комбинация

Следовательно, есть ортогональная сумма и . Аналогично Значит, сдвиги и растяжения образуют ортогональный базис пространства