8.4. Сбалансированные мультивейвлеты

На пути практического применения мультивейвлетов мы сталкиваемся с еще одной трудностью. Масштабирующие функции и, соответственно, компоненты НЧ мультифильтра имеют различные спектральные характеристики. По выражению М. Веттерли, они являются "разбалансированными". Это приводит к перекрытию в области спектра НЧ и ВЧ субполос, вызывая искажения в виде колебаний на сжатом изображении.

Пусть входной сигнал После аппроксимации и фильтрации мы получим две разные последовательности. В случае GHM мультифильтров одна последовательность будет 1, а другая равна Таким образом, вместо постоянного сигнала получается "пилообразный" (рис. 8.4). Для предотвращения этого, в случае применения аппроксимационного метода, необходимо выполнить деаппроксимацию по формулам

Таким образом, аппроксимационный метод можно рассматривать, как введение некоторой пре/постфильтрации входного сигнала.

В общем случае, мы нуждаемся в некотором правиле, согласно которому можно было бы конструировать сбалансированные мультивейвлеты, свободные от указанного выше недостатка. В работах М. Веттерли, Г. Стрэнга доказано необходимое условие, которому должна удовлетворять сбалансированная масштабирущая функция: для случая вектор [1,1] должен быть правым собственным вектором, соответствующим собственному значению 1 маски Это означает, что

Рис. 8.4. Воспроизведение входного сигнала блоком мультифильтров

Известными методами конструирования сбалансированных мультивейвлетов являются:

1) получение сбалансировнных мультивейвлетов из комплексных фильтров Добеши;

2) балансировка существующих мультивейвлетов.

Недостатком мультивейвлетов, полученных первым способом, является то, что значение их маски не удовлетворяет условию (8.32). Следовательно, при итерировании мультифильтров достигается лишь условная сходимость. Использование подобных мультивейвлетов проблематично, так как они неробастны к отбрасыванию коэффициентов: отбрасывание малых коэффициентов приводит не к плавному ухудшению качества сжимаемого сигнала, но к появлению паразитных колебаний.

Сбалансированные мультивейвлеты, полученные вторым способом, свободны от этого недостатка. Как отмечается, они весьма робастны к отбрасыванию коэффициентов без применения какой бы то ни было пре/постфильтрации.

Таким образом, в данной главе рассмотрены основы теории мультивейвлетов: вейвлетов с несколькими масштабирующими функциями. Отмечены положительные стороны подобных конструкций, такие как возможность получения ортогонального симметричного базиса с компактной областью определения, а также хорошие аппроксимационные свойства мультивейвлетов.

В главе рассмотрены также основные проблемы, возникающие при практическом применении мультивейвлетов. Эти проблемы заключаются в определении правила разделения одномерного входного сигнала для получения - мерного, а также в различном спектральном наполнении масштабирующих функций. Приведены некоторые способы разрешения этих проблем. В целом, необходимо отметить, что исследования в этой области еще только начались, и можно ожидать появления новых многообещающих результатов.