22.2 Степенные ряды. Ряды Тейлора.

Аналитические функции. Пусть — последовательность степенных операторов.

Образуем степенной ряд

Областью сходимости степенного ряда служит с-звезда вокруг нуля (см. Хилле и Филлипс т. е. такое множество с что если то при . В приложениях особенно важен случай, когда область сходимости ряда (22.1) содержит шар Рассмотрим мажорантный числовой ряд Его радиус сходимости называется радиусом равномерной сходимости степенного ряда (22.1). Очевидно,

Пусть тогда при всех где степенной ряд (22.1) сходится абсолютно (т. е. по норме) и равномерно; если же то найдутся точки

в которых ряд (22.1) не сходится равномерно (см. Хилле и Филлипс [1]),

Таким образом, при (и только в этом случае) область сходимости степенного ряда содержит шар (радиуса При сумма ряда (22.1) непрерывна.

Рассмотрим теперь двойные степенные ряды

Здесь область сходимости устроена сложнее. Тем не менее справедливо следующее. Пусть — совместные радиусы сходимости числового ряда (см. В. И. Смирнов [1])

т. е. при ряд (22.4) сходится равномерно, а при не сходится равномерно. Отметим, что определяются неоднозначно (например, при уменьшении может увеличиться

Назовем совместными радиусами равномерной сходимости двойного степенного ряда (22.4). Пусть существуют тогда при х, , где двойной ряд (22.3) сходится абсолютно и равномерно.

Обратно, если существуют положительные числа такие, что сходится числовой ряд то найдутся совместные радиусы равномерной сходимости ряда ряд (22.3) сходится абсолютно и равномерно.

Сумма ряда (22.3) есть непрерывная функция переменных в области и ряд этот можно в указанной области почленно дифференцировать по а; и по у любое число раз, в результате чего получаются непрерывные функции, равные соответствующим производным ряда.

Оператор со значениями в определенный в некоторой окрестности точки называется аналитическим в точке если он бесконечно дифференцируем в

точке и представим в некоторой окрестности точки равномерно сходящимся рядом Тейлора

Оператор называется аналитическим в области если он аналитичен в каждой точке этой области.

На аналитические операторы переносятся различные методы и теоремы классического анализа: метод аналитического продолжения, принцип максимума, теорема единственности и др. В частности (см., например, Хилле и Филлипс справедлива теорема единственности: если аналитический оператор равен нулю в некоторой сфере, то он равен нулю во всей области его аналитичности. Особенно прост комплексный случай (когда банаховы пространства комплексные). В этом случае и для аналитичности оператора в области необходимо и достаточно, чтобы он был однозначен, локально ограничен и дифференцируем в смысле Гатовйсм. Хилле и Филлипс [1], теорема 3.17.1).

Все произодные аналитического оператора непрерывны по х, и для них выполняются неравенства Коши, т. е. для любго найдутся положительные числам и такие, что

Обратно, если бесконечно дифференцируем в некоторой окрестности точки и имееют место неравенства Коши (22.6), то — аналитический в так как его ряд Тейлора (22.5) имеет радиус равномерной сходимости Аналогичные определения и результаты переносятся на случай двух (и более) переменных. Оператор со значениями в определенный в области , назовем аналитическим, если для точки этой области можно указать ее окрестность, в которой представим равномерно сходящимся рядом Тейлора:

В комплексном случае двухкратным применением интегральной формулы Коши легко установить следующее предложение: если оператор непрерывен по совокупности переменных в и аналитичен по каждому переменному в отдельности, то он аналитичен в

Все частные производные аналитического оператора непрерывны по и удовлетворяют неравенствам Коши: для любой точки найдутся положительные числа такие, что

Обратно, если оператор бесконечно дифференцируем в и имеют место неравенства Коши (22.8), то аналитичен в , так как из неравенств Коши следует существование совместных радиусов равномерной сходимости