31.3. Метод неопределенных коэффициентов.

Ограничимся рассмотрением случая достаточно хорошо иллюстрирующего метод.

Пусть сначала тогда согласно теореме 31.1 уравнение (31.1) имеет в круге (31.8) единственное решение

Если то это решение представимо в виде

и его можно найти методом неопределенных коэффициентов. Подставим ряд (31.13) в уравнение (31.1) и, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях получим рекуррентную

систему для определения коэффициентов

Еслир — то система эта упрощается:

Пусть пока Из первого уравнения системы (31.14) находим где — постоянная, подлежащая определению. Правая часть второго уравнения той же системы равна и вследствие (30.5) это второе уравнение разрешимо, причем

где также еще предстоит определить.

Методом математической индукции устанавливаются формулы

где

Отметим, что такие же формулы получаются при так что ограничение можно снять.

Рассмотрим правую часть уравнения системы (31.14) или (31.15). Она равна

Поэтому вследствие формул (30.5) и (30.7) условие разрешимости указанного уравнения имеет такой вид:

Но (см. (31.11)) и по определению числа , поэтому необходимо Теперь уравнение разрешимо и из него находим

Точно так же методом математической индукции устанавливается справедливость формул (31.17) при любом к При этом определяется с запаздыванием в шагов из условия разрешимости уравнения и

Решение (31.13) построено. Сходимость полученного ряда доказывать не нужно, так как она является следствием аналитичности при .

Пусть или Решение согласно той же теореме 31.1 следует искать в виде

Подстановка (31.18) в (31.11) приводит к такой рекуррентной системе:

Так как то первое уравнение разрешимо, и из него находим (см. (31.18)) . Правая часть второго уравнения системы (31.20) равна Если то из условия разрешимости этого уравнения найдем . В общем случае методом математической индукции устанавливаем, что

причем определяются с запаздыванием в шагов из условия разрешимости уравнения появляется при решении уравнения)

Заметим, что из определения вытекает, что при в частности, при все Сходимость ряда (31.19) следует при из теоремы 31.1.

При как мы знаем, решения уравнения (23.1) при не существует. Прир метод неопределенных коэффициентов не всегда применим, как показывает следующий пример.

Рассмотрим уравнение (см. п. 30.4, откуда взят оператор В)

(здесь Уравнение это имеет общее решение вида

где — произвольная функция. Положим, в частности тогда радиус сходимости ряда равен нулю (формальное решение).

Если и существует полный А-жорданов набор, решение уравнения (31.1), согласно теореме 31.2, можно найти в виде

где если среди чисел есть Положительные; если же все , то следует положить

В заключение отметим, что результаты параграфа Переносятся на более общие уравнения

в том числе с неограниченными операторами.