33.6. Случаи возмущения второго порядка.

Здесь мы рассмотрим случай Теперь уравнение (33.9) упрощается и принимает следующий вид:

Замену (33.10) можно переписать так:

а вспомогательное уравнение (33.12) будет таким:

В данном случае ряды (33.22) и (33.33) совпадают.

Случай рассмотрен в предыдущем пункте. Здесь мы рассмотрим случай Если то согласно теореме 33.1 для коэффициентов уравнения разветвления, составленного для уравнения (33.12), имеем

и уравнение (33.43) имеет в классе (абстрактных функций, растущих при медленнее, чем ) ровно решений с учетом их кратности.

Поскольку, как и в случае любого к, полное решение вадачи определения всех решений класса уравнения

(33.43) дает метод диаграммы Ньютона, применяемый к уравнению (33.45), то мы ограничимся лишь некоторыми характерными частными случаями.

Нетрудно убедиться, что справедливы следующие формулы для коэффициентов уравнения разветвления, составленного для уравнения (33.45) (ср. (24.6)):

Теорема 33.5. Пусть тогда уравнение (33.43) имеет ограниченное решение вида

и -значное особое решение вида

В классе других решений (33.47), (33.48), (33.43) нет.

Доказательство. Воспользуемся результатом (случай 1, 3), где в нашем случае Всего уравнение (33.45) имеет малых решений. Из них одно решение можно найти в виде сходящегося ряда по целым степеням X. а остальные — по степеням ибо Пользуясь заменой (33.44), получаем утверждение теоремы.

Покажем, как реализуется в условиях теоремы 33.5 метод неопределенных коэффициентов.

Найдем сначала этим методом решение (33.47). Подставим ряд (33.47) в уравнение (33.43) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях X. Получим

Из первого уравнения этой системы (оно разрешимо, ибо находим

и подставляем в правую часть второго уравнения, которая примет вид

Так как ибо то условие разрешимости второго уравнения системы (33.49) с учетом формул (33.46) можно записать так:

откуда

При таком выборе второе уравнение системы (33.49) разрешимо, и из него находим (см. (33.51).)

Пусть уже определены, причем уравнение системы (33.49) разрешимо. Из этого уравнения найдем . Правая часть уравнения той же системы после подстановки в нее найденного выражения будет равна

и, следовательно, условие разрешимости уравнения системы (33.49) дает

откуда найдем Теперь уравнение уже разрешимо и

Методом математической индукции мы сможем построить ряд (33.47).

Покажем, как найти методом неопределенных коэффициентов решение (33.48). Подставим (33.48) в (33.43) и,

приравняв нулю коэффициенты при одинаковых степенях получим

Здесь использовано обозначение (ср. (33.16))

Заметим еще, что при система (33.52) упрощается:

Если учесть формулу (33.25), то из леммы 33.4 следует, что

Далее, формула (33.36) из доказательства той же леммы

Из равенств (33.15) теперь следует, что

Кроме того, дано, что поэтому уравнение

системы (33.52) разрешимо. Его решение имеет следующий, вид:

Рассмотрим правую часть уравнения. Она равна

Поэтому условие разрешимости уравнения имеет вид

или, после применения формулы (32.33)

Так как нас интересуют лишь значения , то после сокращения на получим следующее уравнение для определения

Из этого уравнения находим различных значений Теперь определено. Кроме того, уравнение системы (33.52) разрешимо и из него получаем

где — известная величина.

Нетрудно убедиться, далее, что условие разрешимости уравнения системы (33.52) имеет вид

откуда определяется по однозначно. Методом математической индукции, как и при доказательстве леммы 33.5, устанавливаем, что

причем с. определяются с запаздыванием в шагов из условия разрешимости о уравнения системы (33.52).

Рассмотрим еще вещественный случай (в условиях теоремы 33.5). Решение (33.47), очевидно, всегда вещественно. Вопрос о существовании вещественных решений вида (33.48) решается изучением уравнения (33.54). Если нечетно, то решение вида (33.54) единственно и определено и справа и слева от Если же четно, то решений вида (33.54) два и определены они с той стороны от точки где Доказана

Теорема 33.6. Пусть имеет место вещественный случай и выполнены условия теоремы 33.5; тогда

1) если нечетно, то существует ровно два решения класса — одно ограниченное вида (33.47), определенное в некоторой окрестности точки , а второе — большое — вида (33.48), определенное в окрестности точки исключая точку

2) если четно, то в той полуокрестности точки где существует ровно, одно решение класса — ограниченное решение вида (33.47), а в той полуокрестности точки где , существует ровно три решения класса уравнения (33.9) — одно ограниченное вида (33.47) и два больших вида (33.48).

В заключение рассмотрим особый случай, когда т. е.

Теорема 33.7. Пусть ; тогда уравнение (33.9) имеет в классе 312 ровно два решения, оба они ограниченные вида (33.47).

Для доказательства достаточно воспользоваться результатом п. 2.7 (случай при ) и заменой (33.10).

При построении решений в условиях теоремы 33.7 методом неопределенных коэффициентов получим рекуррентную систему (33.52). Учитывая выражение (31.9) для правой части второго уравнения и то, что теперь требование разрешимости второго уравнения системы (33.52) запишем в виде

Так как дискриминант то находим два значения Методом математической индукции легко установить, что

где известно, а для определения можно воспользоваться условием разрешимости уравнения системы (33.52), которое имеет вид

В вещественном случае дополнительно предполагаем, что . Имеет место случай и поэтому существует ровно два вещественных решения.

Осталось рассмотреть случай, когда Ограничимся следующим результатом.

Теорема 33.8. Пусть выполнены следующие условия:

где тогда уравнение (33.9) имеет в классе ровно два решения. Оба они ограниченные и представимы в некоторой окрестности точки сходящимися рядами

Доказательство. Подставим ряд (33.56) в уравнение (33.9) и придем к следующей системе для определения

Из первого и второго уравнений згой системы находим

Подставим в правую часть третьего уравнения системы (33.57) и потребуем, чтобы это уравнение было разрешимо. В результате придем к уравнению (33.55), которое имеет кратный корень

Теперь из третьего уравнения имеем

Правая часть четвертого уравнения рассматриваемой системы равна

и поэтому условие разрешимости третьего уравнения вследствие равенства (33.58) выполнено для любых , значит, четвертое уравнение системы (33.57) разрешимо, а потому из него находим

Рассмотрим, наконец, правую часть пятого уравнения

Требование разрешимости пятого уравнения системы

откуда находим два значения Далее, как и в других рассмотренных выше случаях, легко показать, что таким же способом определяются и все остальные неопределенные коэффициенты, причем уравнения для нахождения остальных произвольных постоянных оказывается уже линейным.

Нетрудно сформулировать также соответствующий результат для вещественного случая.