§ 36. О колебаниях спутника в плоскости эллиптической орбиты

Колебания спутника в плоскости его эллиптической орбиты около направления радиуса-вектора описываются следующим уравнением:

Здесь — удвоенный угол между одной из главных осей эллипсоида инерции спутника, лежащей в плоскости орбиты, и радиусом-вектором орбиты, — истинная аномален, где А, В, С — главные центральные моменты инерции, причем — эксцентриситет:

Представляет интерес изучение периодических решений уравнения (36.1) с периодом, равным периоду обращения центра масс спутника по орбите, т. е. -периодических решений уравнения (36.1).

Ограничимся отысканием нечетных -периодических решений, что эквивалентно решению для уравнения (36.1) краевой задачи с граничными условиями

Введем (ср. § 34) вещественные банаховы пространства Пусть — пространство непрерывных на функций, а — пространство дважды непрерывно дифференцируемых на функций, удовлетворяющих граничным условиям (36.2). Нормы в вводятся, как в § 34. Краевую задачу (36.1) — (36.2) в пространстве

можно теперь рассматривать как одно нелинейное уравнение вида

с двумя вещественными параметрами и и с нелинейным оператором задаваемым на функциях из дифференциальным выражением, стоящим в левой части уравнения (36.1). Значения — аналитический оператор.

Рассмотрим случай малого эксцентриситета . При уравнение (36.1) превращается в уравнение математического маятника

При задача (36.4) — (36.2) имеет лишь тривиальное решение, а при эта задача имеет три решения:

причем параметр к эллиптической функции должен быть определен из уравнения

Таким образом, точка является точкой ветвления уравнения (36.4): от тривиального решения при ответвляется два малых нетривиальных решения. Итак,

Рассмотрим задачу продолжения по параметрам и решения уравнения (36.3). а Положим

где — новый малый параметр. Уравнение (36.3) теперь можно записать в виде

где

где

Оператор В фредгольмовский с числом нулей причем его нуль и дефектный функционал можно выбрать так:

Для построения приближенного уравнения разветвления Ляпунова — Шмидта мы поступим следующим образом (см. п. 23.2). Для того чтобы уравнение (36.8) имело решение необходимо и достаточно, чтобы

Учитывая вторую из формул (36.9), после интегрирования по частям последнее уравнение можно записать так:

Далее, непосредственно из уравнения (36.8) и формул (36.9) заключаем, что

где содержит члены второго и высших порядков относительно и .

Подставляя (36.12) в (36.11), после простых выкладок приходим к уравнению разветвления

где содержат лишь члены третьего и высших порядков, — лишь члены выше третьего порядка по

Приближенно имеем следующее уравнение разветвления:

Рис. 19.

Составим дискриминант этого уравнения:

Отсюда следует, что точки ветвления задачи (36.1) — (36.2) лежат на кривой разветвления, которая при малых имеет приближенное уравнение

В (рис. 19) уравнение (36.14) имеет единственное вещественное решение, в это уравнение имеет три различных вещественных решения, которые сливаются в одно решение на кривой разветвления. Из соотношений

следует отрицательность одного из корней и положительность двух других, если При

Можно показать, что решения (см. (36.5)) не разветвляются.

Окончательно имеем приближенную формулу

где определяется из уравнения (36.14). Используя формулу (36.13), можно получить с любой степенью точности. Приведем без доказательства такую формулу с точностью до

( определяется из уравнения (36.14)).

На кривой разветвления

В области, лежащей ниже кривой разветвления, решение может быть эффективно построено в виде ряда по целым степеням е.

В заключение заметим, что, используя рассуждения п. 35, можно дать асимптотику решений задачи как вблизи кривой разветвления, так и вне этой кривой.