8.4. Одномерный случай ветвления.
Пусть 1 является простым собственным значением оператора (8.3). Рассмотрим тогда ядро 
где 
— соответствующие нормированные собственные функции операторов А и А" (см. формулы (8.3) и (8.3)). Подставляя значение 
из последнего равенства в уравнение (8.1), получим
Полагая
получим
где согласно лемме Шмидта 1 не является собственным значением оператора 
:
Ввиду этого, если 
— резольвента Фредгольма ядра 
то из уравнения (8.12) мы находим
или
где (учитывая (8.2))
Таким образом, в рассматриваемом случае уравнение (8.1) сводится к эквивалентному уравнению (8.13), которое является простейшим. Так как при достаточно малом 
параметр 
, заданный формулой (8.11), имеет достаточно малый модуль, то, используя результаты п. 7.7 (см. конец этого пункта и теорему 7.4), мы приходим к следующему выводу. При достаточно малых 
уравнение (8.13) имеет в классе непрерывных функций единственное решение, и оно представимо в виде
или
Для определения возможных значений 
нужно подставить данное значение и 
в формулу (8.11), и тогда получим
Полагая
и учитывая выражение для 
получим
причем в последней сумме 
Преобразуем первое слагаемое правой части последнего равенства:
По
Подставляя сюда значение 
получим
или
так как
Из (8.4) и (8.18) следует, что
Отсюда и из (8.17) имеем, что 
так что равенство (8.15) принимает вид
где
Таким образом, возможные значения определяющие решение (8.14) рассматриваемого уравнения (8.1), должны быть найдены из уравнения (8.19), в котором отсутствует слагаемое первой степени относительно 
Уравнение (8.19) называется уравнением разветвления Ляпунова — Шмидта.
Если в уравнении (8.1) положить
где 
— заданная фиксированная функция, то уравнение разветвления Ляпунова — Шмидта примет вид
где
Методы исследования уравнения (8.20) изложены в § 2.
