Здесь 
неизвестное, разыскиваемое в 
элементы из 
— фредгольмовский оператор, 
при 
к суть 
-степенные операторы из 
— линейный оператор). Кроме того, предположим, что банаховы пространства 
комплексные и к — малый комплексный параметр, 
. Введем 
— класс абстрактных, вообще говоря, многозначных функций 
определенных и непрерывных каждая в своей окрестности точки 
(быть может, исключая самое точку 
и имеющих при к 
порядок роста
Сделаем в уравнении (26.9) замену переменных
Замену 
можно считать взаимнооднозначной, так как обратный переход можно осуществить по формулам
где под 
в случае 
мы будем понимать главное значение этой функции. После замены (33.10) уравнение (33.9) переходит в уравнение
а задача разыскания решений уравнения (26.9) класса переходит в эквивалентную ей задачу разыскания малых решений 
уравнения (33.12).
Эта последняя задача является частным случаем общей задачи теории ветвления, изученной выше. Могут представиться различные случаи в зависимости от величины 
— числа нулей оператора В. Если 
то согласно теореме о неявных операторах 22.2 уравнение (33.12) имеет единственное малое решение и 
решение представимо в окрестности точки 
сходящимся рядом
Следовательно, существует единственное решение класса 
Если 
то задача сводится к уравнению разветвления (24.2), причем возможны два случая: вырожденный, когда все коэффициенты уравнения разветвления равны нулю, и невырожденный, когда хотя бы один коэффициент уравнения разветвления отличен от нуля.
В вырожденном случае существует однопараметрическое семейство малых решений 
зависящее от произвольного малого параметра 
.
Следовательно, в классе уравнение (33.9) также имеет однопараметрическое семейство малых решений.
В невырожденном случае уравнение (33.12) может иметь не более конечного числа малых решений, причем каждое из них представимо в окрестности точки 
сходящимся рядом по дробным (или целым) степеням 
Возвращаясь к переменным у и 
мы видим, что уравнение (33.9) в этом случае имеет также не более конечного числа решений класса 
причем все 
решения представимы в окрестности точки 
(возможно, исключая 
) рядами (типа Лорана) по дробным степеням параметра
Здесь мы рассматриваем лишь случай 
для которого получаются более законченные результаты. Случай 
изучен в работе П. Г. Айзенгендлера [2].
В следующих двух пунктах приведем необходимые для дальнейшего результаты. Нашей целью является применение для исследования уравнения (33.9) метода неопределенных коэффициентов. И здесь важную роль играют понятие жордановой цепочки в нелинейном случае, а также свойства некоторых вспомогательных полиномов.
