7.7. Применение метода мажорант.

Приведем еще другое доказательство существования решения уравнения (7.10) и представимости его в виде интегро-степенного ряда функционального аргумента (см. Э. Шмидт [1]), использующее метод мажорант. Положим

Подставляя V, в (7.10) вместо и и собирая затем интегро-степенпые члены второй степени, получим Пусть найдены для Для определения мы подставим в правую часть равенства (7.10) вместо и сумму

и соберем интегро-степенпые члены степени относительно V. Их сумма даст нам Определенный таким образом интегро-степенпой ряд (7.11) формально удовлетворяет уравнению (7.10). Отметим, что этот прием напоминает прием отыскания неявной функции одного переменного (см. Э. Гурса [2], § 184) из уравнения

Покажем теперь, что существует положительное число такое, что если то ряд (7.11) сходится регулярно. С этой целью рассмотрим уравнение

и применим к нему предыдущий прием. Получим тогда формальное решение

в котором все ядра, определяющие интегро-степенные члены вещественны, неотрицательны и мажорируют соответствующие ядра, входящие в (7.11), так что

Заменяя в (7.21) функцию положительной констан той мы получим для ряд

формально удовлетворяющий уравнению

При этом так же, как раньше, мы будем иметь

и если в правую часть равенства (7.24) подставить вместо сумму

то за следует взять коэффициент при дт.

рассмотрим теперь уравнение

правая часть которого сходится при согласно допущению о регулярной сходимости оператора (см. начало п. 7.4). Согласно известной теореме о существовании неявной функции (Э. Гурса [2], § 184) уравнение (7.26) имеет решение вида

причем ряд (7.27) сходится при где — некоторое положительное число.

Для доказательства регулярной сходимости ряда (7.11) в силу неравенств (7.22) остается показать, что

Так как то из (7.26) и (7.27) следует

Остается показать, что из неравенств

следует неравенство

Из ранее указанного способа получения из равенства (7.24) следует, если учесть неравенства (7.28), что для любого значения интегро-степенной член но превосходит коэффициента при получаемого при подстановке в (7.24) вместо не суммы (7.25), а суммы

Далее, в силу соотношений

следует, что коэффициент при не уменьшится, если сумму (7.29) мы подставим не вместо в правую часть (7.24), а вместо в правую часть (7.26). Но при таком определении коэффициента при мы получим Ат. Следовательно,

т. е. ряд (7.27) мажорирует ряд (7.11), так что ряд (7.11) сходится регулярно, когда и формально удовлетворяет уравнению (7.10), правая часть которого сходится регулярно при Ввиду этого, если мы выберем положительное число кг так, чтобы

то ряд (7.11) нам даст настоящее решение уравнения (7.10).

Покажем, что методом мажорант легко устанавливается существование положительного числа такого, что если

то уравнение (7.10) имеет единственное решение, представимое в виде (7.11).

Допустим, что помимо решения (7.11) имеется решение так что

Тогда путем вычитания и оценок непосредственно получается

причем правая часть этого неравенства сходится при и силу регулярной сходимости правой части (7.10). Из (7.30) имеем

откуда, если то

Так как правая часть (7.31) обращается в нуль при то существует постоянная такая, что при неравенство (7.31) становится невозможным. Этим завершается доказательство едипственности.

Отметим, однако, что методом мажорант мы установили единственность решения уравнения (7.10) в классе функций, представимых в виде интегро-степенных рядов, а методом сжатых отображений мы получили единственность решения уравнения (7.10) в классе непрерывных функций. Таким образом, установлена

Теорема 7.4. Существует положительное число 6 такое, что если

то уравнение (7.10) имеет единственное решение в классе непрерывных функций и это решение представимо в виде интегро-степенного ряда (7.11).

Отметим, что данная теорема сохраняется и для уравнения вида

где интегро-степенной член первой степени относительно При этом единственное решение этого уравнения (в классе непрерывных функций), когда достаточно малы, представимо в виде

где

В частности, некоторые из аргумептов или все могут быть числовыми параметрами. В последнем случае решение представляется в виде степенного ряда по параметрам, порядок которого не ниже едипицы.