17.2. Уравнение разветвления.

Обозначим через решение начальной задачи

для уравнения (17.1). Для того чтобы это решение было периодическим с периодом (см., например, Коддингтон и Левинсон [1], гл. 14, § 2), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

которое в силу (17.5) принимает вид

Так как голоморфные функции, то согласно теореме Пуанкаре (см., например, Лефшец [2], стр. 56 или Коддингтон и Левинсон [1], стр. 399, теорема 4.2) решение представимо в виде

где

— голоморфные функции от причем ряды (17.8) сходятся в некотором цилиндре при произвольном

Отсюда следует, что левые части системы (17.6) представляют собою аналитические функции в начале координат Сокращая каждое уравнение системы (17.6) на максимальную допустимую степень X, мы получим

Непрерывное решение данной системы называется малым, если при Данная система (17.9) отличается по виду от системы (15.7) лишь тем, что здесь вместо стоит так что для нее справедливо предложение, аналогичное лемме 15.1. Отсюда, в частности, следует, что если система (17.9) не имеет малых решений, то рассматриваемая нами задача -периодических продолжениях решения не имеет решений. Поэтому мы будем в дальнейшем предполагать, что

Пусть — матрица Якоби в нуле от по дефект этой матрицы. Тогда из системы (17.9) можно исключить неизвестных. Исключив их, мы согласно теореме 1.5 получим систему

эквивалентную системе (17.9). Здесь — оставшиеся

неизвестные из совокупности а функции (по теореме 1.2 о неявных функциях) являются аналитическими в начале координат. Отметим еще, что согласно лемме 4.1 имеем

так что система (17.11) представляет собою уравнение разветвления рассматриваемой задачи

Так как между множеством малых вещественных решений системы (17.11) и множеством всех решений задачи существует (согласно предыдущему) взаимно однозначное соответствие, то задача сводится к отысканию всех вещественных решений системы (17.11).