3.2. Приведение к нормальному виду.

Рассмотрим псевдомногочлен относительно

где

являются аналитическими функциями в начале координат.

Определение 3.2 (см. Бохнер и Мартин [11, стр. 264—265). Если

то псевдомногочлен называется отмеченным многочленом степени относительно

Аналогично вводится понятие отмеченного многочлена относительно Имеет место следующее предложение.

Теорема 3.2. Если произведение псевдомногочленов

и

является отмеченным многочленом (относительно ), то — отмеченные многочлены относительно Доказательство. По условию

являются аналитическими функциями в начале координат. Пусть и — первые коэффициенты, для которых

Напишем выражение для коэффициента при в произведении

Отсюда имеем

что противоречит условию. Следовательно, — отмеченные многочлены.

Пусть — аналитические функции в начале координат.

Определение 3.3 (см. Бохнер и Мартин [1], стр. 264). Если где

то функции и называются эквивалентными.

Пусть уравнение разветвления (1.11) приведено к регулярному виду

Определение 3.4. Мы скажем, что система

эквивалентна системе (3.4), если для всякого функция эквивалентна функции

Ясно, что всякое малое решение системы (3.4) или системы (1.11) является малым решением системы (3.5), и наоборот, т. е. эквивалентные системы эквивалентны и относительно малых решений.

Определение 3.5. Если в системе (3.5) все функции являются отмеченными многочленами относительно одного и того же то мы скажем, что уравнение разветвления (3.4) (или приведено к нормальному виду (3.5), т. е. систему (3.5) мы будем называть уравнением разветвления в нормальном виде, если все — отмеченные многочлены.

Для приведения системы (3.4) к нормальному виду мы воспользуемся подготовительной теоремой Вейерштрасса (см. Бохнер и Мартин [1], стр. 259).

Теорема 3.3 (подготовительная теорема Вейерштрасса). Пусть — аналитическая функция в начале координат, причем

Тогда в некоторой окрестности начала координат

где является отмеченным многочленом и -аналитическая функция в начале координат, удовлетворяющая условию

Функции определяются однозначно условиями теоремы (Бохнер и Мартин [1]). Укажем рекуррентный процесс для их нахождения.

Пусть

Так как то функция

является аналитической в начале координат. Напишем

где — однородные многочлены степени относительно переменных причем согласно условию при к так как

и

Сначала определим формы они находятся с помощью рекуррентных соотношений (см. Бохнер и Мартин [1], формула (15), стр. 256), которые в данном случае принимают вид

Действительно, из (3.6) последовательно определяются все а затем используются соотношения (3.7). Полагая в получим

Отсюда видно, что формы последовательно выражаются через

Далее, из (3.7) при имеем

Таким образом, все формы определяются однозначно и последовательно.

Переходим к определению форм Используя выражения для , и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в равенстве получим

Отсюда следует, что