Пример анализа рабочей функции

На рис. 2.6 приведен простой пример адаптивного линейного сумматора с одним входом и двумя весовыми коэффициентами. Входной и полезный сигналы представляют собой отсчеты синусоиды с частотой, равной N отсчетам за период. Для того чтобы не все отсчеты были равны нулю, полагаем . Здесь не обсуждается способ получения этих сигналов, а рассматривается только рабочая функция и ее свойства.

Рис. 2.6. Пример адаптивного линейного сумматора с двумя весовыми коэффициентами

Для нахождения рабочей функции, т. е. в (2.13), необходимо вычислить математическое ожидание произведений сигналов в (2.11) и (2.12). Отметим, что для системы с одним входом необходимо изменить индексы при х в соответствии с (2.2).

Для любого произведения синусоидальных функций математическое ожидание произведения можно найти усреднением этого произведения за один или более периодов. Таким образом,

Отметим, что , поскольку усреднение осуществляется по k.

На основании этих результатов можно получить выражения для корреляционных матриц входного сигнала R (2.11) и вектора Р (2.12) в рассматриваемом примере системы с одним входом и двумя весовыми коэффициентами:

Так же, как и в (2.20) и (2.21), получаем, что . Подставляя полученные результаты в (2.13), находим функцию СКО ошибки для нашего примера:

График этой функции для приведен на рис. 2.5. Отметим, что зависимость является квадратичной по и и имеет единственный глобальный минимум. Подставив (2.22) и (2.23) в (2.15), найдем вектор градиента для любой точки :

В этом примере винеровский вектор весовых коэффициентов можно найти формально из (2.17), вычислив обратную матрицу R или приравнивая V нулю в (2.25). Конечно, обе операции эквивалентны, и в обоих случаях в результате имеем

(2.26)

Напомним, что ранее принято поэтому здесь всегда конечны.

Наконец, подставляя (2.23) и (2.26) в (2.19), находим для данного примера минимальное значение СКО

(2.27)

С первого взгляда полученный результат может показаться удивительным, поскольку для любого значения N весовые коэффициенты в схеме на рис. 2.6 можно скорректировать так, чтобы свести к нулю. Сам по себе элемент задержки может изменить с синусоидальной на косинусоидальную функцию только при т. е. только при задержке, равной четверти периода. В этом случае из (2.26) следует, что . Однако в адаптивном линейном сумматоре с задержкой и двумя весовыми коэффициентами всегда возможен такой сдвиг при котором для любого можно получить соответствующую косинусоидальную функцию (см. упражнение 3).